Wiskundige bewijzen kunnen moeilijk zijn, maar kunnen worden overwonnen met de juiste achtergrondkennis van zowel wiskunde als het format van een bewijs. Helaas is er geen snelle en eenvoudige manier om te leren hoe een bewijs te construeren. Je moet een basisfundament in het onderwerp hebben om met de juiste stellingen en definities te komen om logisch je bewijs te ontwerpen. Door voorbeeldproeven te lezen en zelfstandig te oefenen, kunt u de vaardigheid van het schrijven van een wiskundig bewijs cultiveren.

Methode één van de drie:
Het probleem begrijpen

  1. 1 Identificeer de vraag. Je moet eerst precies bepalen wat je probeert te bewijzen. Deze vraag zal ook dienen als de laatste verklaring in het bewijs. In deze stap wilt u ook de aannames definiëren waarvoor u gaat werken. Het identificeren van de vraag en de nodige aannames geeft u een startpunt om het probleem te begrijpen en het bewijs te gebruiken.
  2. 2 Teken diagrammen. Wanneer je de innerlijke werking van een wiskundeprobleem probeert te begrijpen, is de eenvoudigste manier om een ​​diagram te maken van wat er gebeurt. Diagrammen zijn vooral belangrijk in geometrieproeven, omdat ze u helpen visualiseren wat u feitelijk probeert te bewijzen.
    • Gebruik de informatie in het probleem om een ​​tekening van het bewijs te schetsen. Label de bekende en onbekenden.
    • Terwijl u door het bewijs werkt, tekent u de nodige informatie in die bewijs levert voor het bewijs.
  3. 3 Studiebewijzen van gerelateerde stellingen. Bewijzen zijn moeilijk te leren om te schrijven, maar een uitstekende manier om bewijzen te leren is om verwante stellingen te bestuderen en hoe die zijn bewezen.
    • Realiseer je dat een bewijs alleen een goed argument is als elke stap gerechtvaardigd is. U kunt vele bewijzen vinden om online of in een studieboek te studeren.[1]
  4. 4 Vragen stellen. Het is prima om vast te lopen op een bewijs. Vraag je leraar of collega-klasgenoten als je vragen hebt. Ze kunnen soortgelijke vragen hebben en je kunt de problemen samen oplossen. Het is beter om te vragen en opheldering te krijgen dan blindelings door het bewijs te struikelen.
    • Ontmoet je leraar buiten de klas voor extra instructie.

Methode twee van drie:
Een proef formatteren

  1. 1 Definieer wiskundige bewijzen. Een wiskundig bewijs is een reeks logische beweringen ondersteund door stellingen en definities die de waarheid van een andere wiskundige verklaring bewijzen.[2] Bewijzen zijn de enige manier om te weten dat een verklaring wiskundig geldig is.
    • Het kunnen schrijven van een wiskundig bewijs geeft een fundamenteel begrip van het probleem zelf en alle concepten die in het probleem worden gebruikt.
    • Bewijzen dwingen je ook om wiskunde op een nieuwe en opwindende manier te bekijken. Gewoon door te proberen iets te bewijzen, verkrijg je kennis en begrip, zelfs als je bewijs uiteindelijk niet werkt.
  2. 2 Ken je publiek. Voordat je een bewijs schrijft, moet je nadenken over het publiek waarvoor je schrijft en welke informatie ze al kennen. Als je een bewijs voor publicatie schrijft, schrijf je het anders dan een bewijs voor je wiskundelessen op de middelbare school schrijven.[3]
    • Als u uw publiek kent, kunt u het bewijs schrijven op een manier die zij zullen begrijpen, gezien de hoeveelheid achtergrondkennis die ze hebben.
  3. 3 Identificeer het type bewijs dat u schrijft. Er zijn een paar verschillende soorten bewijzen en degene die u kiest, hangt af van uw doelgroep en de opdracht. Als je niet zeker weet welke versie je moet gebruiken, vraag je je leraar om advies. Op de middelbare school wordt van u verwacht dat u uw bewijs in een specifiek formaat schrijft, zoals een formeel tweekolomsbewijs.[4]
    • Een tweepolommenproef is een opstelling die in een kolom de gegevens en verklaringen vermeldt en het ondersteunende bewijs ernaast in een tweede kolom. Ze worden heel vaak gebruikt in de geometrie.
    • Een informeel paragraafbewijs gebruikt grammaticaal correcte verklaringen en minder symbolen. Op hogere niveaus moet u altijd een informeel bewijs gebruiken.
  4. 4 Schrijf het bewijs met twee kolommen als een omtrek. Het bewijs met twee kolommen is een eenvoudige manier om uw gedachten te ordenen en het probleem te doordenken. Trek een lijn door het midden van de pagina en schrijf alle gegevens en verklaringen aan de linkerkant op. Schrijf de bijbehorende definities / stellingen aan de rechterkant, naast de gegevens die ze ondersteunen.
    • Bijvoorbeeld:[5]
    • Hoek A en hoek B vormen een lineair paar. Gegeven.
    • Hoek ABC is recht. Definitie van een rechte hoek.
    • Hoek ABC meet 180 °. Definitie van een regel.
    • Hoek A + hoek B = hoek ABC. Hoek toevoeging postulaat.
    • Hoek A + hoek B = 180 °. Substitutie.
    • Hoek A aanvullend op hoek B. Definitie van aanvullende hoeken.
    • Quod erat demonstrandum
  5. 5 Converteer het bewijs met twee kolommen naar een informeel schriftelijk bewijs. Gebruik het bewijs met twee kolommen als basis en schrijf het informele paragraafformulier van uw bewijs zonder al te veel symbolen en afkortingen.
    • Bijvoorbeeld: hoek A en hoek B zijn lineaire paren. Bij hypothese zijn hoek A en hoek B aanvullend. Hoek A en hoek B vormen een rechte lijn omdat ze lineaire paren zijn. Een rechte lijn is gedefinieerd als een hoekmaat van 180 °. Gezien het postulaat van de hoektoevoeging sommeren de hoeken A en B samen om de lijn ABC te vormen. Door middel van substitutie, vormen de hoeken A en B samen een som van 180 °, daarom zijn dit aanvullende hoeken. Quod erat demonstrandum

Methode drie van drie:
Het bewijs schrijven

  1. 1 Leer het vocabulaire van een bewijs. Er zijn bepaalde uitspraken en uitdrukkingen die je keer op keer zult zien in een wiskundig bewijs. Dit zijn zinsdelen die u moet kennen en die u goed kunt gebruiken bij het schrijven van uw eigen bewijs.[6]
    • "Als A, dan B" -verklaringen betekenen dat je moet bewijzen dat A waar is, moet B ook waar zijn.[7]
    • "Een als en alleen als B" betekent dat u moet bewijzen dat A en B tegelijkertijd waar en onwaar zijn.Bewijs beide "als A, dan B" en "zo niet A, dan niet B".
    • "A only if B" is equivalent aan "if A, then B", dus het wordt niet vaak gebruikt. Het is echter goed om je ervan bewust te zijn, voor het geval je het ziet.
    • Gebruik bij het samenstellen van het bewijs niet "I", maar gebruik in plaats daarvan "wij".[8]
  2. 2 Noteer alle gegevens. Bij het samenstellen van een bewijs, is de eerste stap om alle gegevens te identificeren en op te schrijven. Dit is de beste plaats om te beginnen omdat het u helpt na te denken over wat bekend is en welke informatie u nodig heeft om het bewijs te voltooien. Lees het probleem door en noteer elk gegeven.
    • Bijvoorbeeld: Bewijs dat twee hoeken (hoek A en hoek B) die een lineair paar vormen aanvullend zijn.[9]
    • Givens: hoek A en hoek B zijn een lineair paar
    • Bewijs: hoek A is een aanvulling op hoek B
  3. 3 Definieer alle variabelen. Naast het schrijven van de gegevens, is het handig om alle variabelen te definiëren. Schrijf de definities aan het begin van het bewijs om verwarring voor de lezer te voorkomen. Als variabelen niet zijn gedefinieerd, kan een lezer gemakkelijk verdwalen wanneer hij uw bewijs probeert te begrijpen.
    • Gebruik geen variabelen in uw proef die niet zijn gedefinieerd.
    • Bijvoorbeeld: variabelen zijn de hoekmaat van hoek A en maat van hoek B.
  4. 4 Werk het bewijs achterstevoren door. Het is vaak het gemakkelijkst om het probleem achterwaarts te doordenken. Begin met de conclusie, wat u probeert te bewijzen, en denk na over de stappen die u naar het begin kunnen brengen.[10]
    • Manipuleer de stappen vanaf het begin en het einde om te zien of je ze op elkaar kunt laten lijken. Gebruik de gegevens, de definities die u hebt geleerd en de proefdrukken die lijken op degene waaraan u werkt.
    • Stel jezelf vragen terwijl je meegaat. "Waarom is dit zo?" en "Is er een manier waarop dit onjuist kan zijn?" zijn goede vragen voor elke bewering of claim.
    • Vergeet niet om de stappen in de juiste volgorde voor het definitieve bewijs te herschrijven.
    • Bijvoorbeeld: als hoek A en B aanvullend zijn, moeten ze optellen tot 180 °. De twee hoeken worden gecombineerd om de lijn ABC te vormen. Je weet dat ze een regel maken vanwege de definitie van een lineair paar. Omdat een lijn 180 ° is, kunt u vervanging gebruiken om te bewijzen dat hoek A en hoek B optellen tot 180 °.
  5. 5 Bestel uw stappen logisch. Start het bewijs aan het begin en werk naar de conclusie. Hoewel het handig is om na te denken over het bewijs door te beginnen met de conclusie en achteruit te werken, wanneer u daadwerkelijk het bewijs schrijft, vermeld de conclusie aan het einde.[11] Het moet van de ene verklaring naar de andere vloeien, met ondersteuning voor elke verklaring, zodat er geen reden is om aan de geldigheid van uw bewijs te twijfelen.
    • Begin met het aangeven van de aannames waarmee u werkt.
    • Voeg eenvoudige en voor de hand liggende stappen toe zodat een lezer zich niet hoeft af te vragen hoe je van de ene stap naar de andere bent gekomen.
    • Het schrijven van meerdere concepten voor uw proeven is niet ongewoon. Blijf herschikken totdat alle stappen in de meest logische volgorde zijn.
    • Bijvoorbeeld: begin met het begin.
      • Hoek A en hoek B vormen een lineair paar.
      • Hoek ABC is recht.
      • Hoek ABC meet 180 °.
      • Hoek A + hoek B = hoek ABC.
      • Hoek A + hoek B = hoek 180 °.
      • Hoek A is een aanvulling op hoek B.
  6. 6 Vermijd het gebruik van pijlen en afkortingen in het schriftelijke bewijs. Wanneer u het plan voor uw bewijs schetst, kunt u steno en symbolen gebruiken, maar bij het schrijven van het definitieve bewijs kunnen symbolen zoals pijlen de lezer verwarren. Gebruik in plaats daarvan woorden als 'toen' of 'daarom'.[12]
    • Uitzonderingen op het gebruik van afkortingen zijn bijvoorbeeld: (bijvoorbeeld) en dat wil zeggen (dat is), maar zorg ervoor dat u ze op de juiste manier gebruikt.[13]
  7. 7 Ondersteun alle uitspraken met een stelling, wet of definitie. Een bewijs is alleen zo goed als het gebruikte bewijsmateriaal. U kunt geen verklaring afleggen zonder deze te ondersteunen met een definitie. Refereer naar andere bewijzen die vergelijkbaar zijn met de bewijzen die u gebruikt, bijvoorbeeld bewijsmateriaal.
    • Probeer uw bewijs toe te passen op een geval waarin dit zou moeten mislukkenen kijk of het echt werkt. Als het niet faalt, herbewerk dan het bewijs zodat het werkt.
    • Veel geometrische bewijzen zijn geschreven als een bewijs in twee kolommen, met de verklaring en het bewijsmateriaal. Een formeel wiskundig bewijs voor publicatie wordt geschreven als een alinea met de juiste grammatica.
  8. 8 Sluit af met een conclusie of Q.E.D. De laatste verklaring van het bewijs zou het concept moeten zijn dat u probeerde te bewijzen. Nadat u deze verklaring hebt afgelegd, eindigt u het bewijs met een definitief afsluitend symbool zoals Q.E.D. of een ingevuld vierkant geeft aan dat het bewijs volledig is voltooid.[14]
    • Quod erat demonstrandum (quod erat demonstrandum, wat Latijn is voor "wat getoond moest worden").
    • Als u niet zeker weet of uw bewijs klopt, schrijft u enkele zinnen om te zeggen wat uw conclusie was en waarom deze belangrijk is.