Twee breuken zijn equivalent als ze dezelfde waarde hebben. Weten hoe een breuk moet worden omgezet in een gelijke, is een essentiële wiskundige vaardigheid die nodig is voor alles, van elementaire algebra tot geavanceerde calculus. Dit artikel behandelt verschillende manieren om equivalente breuken te berekenen van basisvermenigvuldiging en verdeling naar meer complexe methoden voor het oplossen van equivalente fractievergelijkingen.

Methode één van de vijf:
Het vormen van equivalente breuken

  1. 1 Vermenigvuldig de teller en de noemer met hetzelfde nummer. Twee fracties die verschillend maar equivalent zijn, hebben per definitie tellers en noemers die veelvouden van elkaar zijn. Met andere woorden, het vermenigvuldigen van de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde aantal zal een equivalente breuk produceren. Hoewel de cijfers in de nieuwe breuk verschillend zijn, hebben de breuken dezelfde waarde.
    • Als we bijvoorbeeld de breuk 4/8 nemen en zowel de teller als de noemer met 2 vermenigvuldigen, krijgen we (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Deze twee breuken zijn equivalent.
    • (4 × 2) / (8 × 2) is in essentie hetzelfde als 4/8 × 2/2 Onthoud dat wanneer we twee breuken vermenigvuldigen, we vermenigvuldigen, wat betekent dat de teller naar de teller en de noemer naar de noemer gaat.
    • Merk op dat 2/2 gelijk is aan 1 wanneer u de divisie uitvoert. Het is dus gemakkelijk in te zien waarom 4/8 en 8/16 equivalent zijn, omdat 4/8 × (2/2) = 4/8 nog steeds wordt vermenigvuldigd. Op dezelfde manier is het redelijk om te zeggen dat 4/8 = 8/16.
    • Elke gegeven breuk heeft een oneindig aantal equivalente breuken. Je kunt de teller en de noemer vermenigvuldigen met een geheel getal, ongeacht hoe groot of klein een vergelijkbare breuk is.
  2. 2 Verdeel de teller en noemer met hetzelfde getal. Net als vermenigvuldiging kan divisie ook worden gebruikt om een ​​nieuwe breuk te vinden die gelijk is aan uw startfractie. Deel eenvoudig de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde getal om een ​​gelijkwaardige breuk te verkrijgen. Er is één voorbehoud bij dit proces - de resulterende breuk moet hele getallen hebben in zowel de teller als de noemer om geldig te zijn.
    • Laten we bijvoorbeeld 4/8 opnieuw bekijken. Als we in plaats van vermenigvuldigen zowel de teller als de noemer met 2 delen, krijgen we (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 en 4 zijn beide hele getallen, dus deze equivalente breuk is geldig.

Methode twee van vijf:
Basic vermenigvuldiging gebruiken om de gelijkwaardigheid te bepalen

  1. 1 Zoek het nummer waarmee de kleinere noemer moet worden vermenigvuldigd om de grootste noemer te maken. Veel problemen met betrekking tot breuken omvatten bepalen of twee fracties equivalent zijn. Door dit getal te berekenen, kunt u beginnen de breuken in dezelfde termen te plaatsen om de gelijkwaardigheid te bepalen.
    • Neem bijvoorbeeld de breuken 4/8 en 8/16 opnieuw. De kleinere noemer is 8, en we zouden dat aantal x2 moeten vermenigvuldigen om de grootste noemer te maken, dat is 16. Daarom is het getal in dit geval 2.
    • Voor moeilijkere nummers kun je eenvoudig de grootste deler delen door de kleinere noemer. In dit geval 16 gedeeld door 8, wat ons nog steeds 2 oplevert.
    • Het nummer is mogelijk niet altijd een geheel getal. Als de noemers bijvoorbeeld 2 en 7 waren, zou het aantal 3,5 zijn.
  2. 2 Vermenigvuldig de teller en de noemer van de breuk uitgedrukt in lagere termen met het getal uit de eerste stap. Twee fracties die verschillend maar equivalent zijn, hebben per definitie tellers en noemers die veelvouden zijn van elkaar. Met andere woorden, het vermenigvuldigen van de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde aantal zal een equivalente breuk produceren. Hoewel de cijfers in deze nieuwe breuk verschillend zijn, hebben de breuken dezelfde waarde.[1]
    • Als we bijvoorbeeld de breuk 4/8 uit stap één nemen en zowel de teller als de noemer vermenigvuldigen met ons eerder bepaalde getal 2, krijgen we (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Dit bewijst dus dat deze twee fracties equivalent zijn.

Methode drie van vijf:
Basic Division gebruiken om de gelijkwaardigheid te bepalen

  1. 1 Bereken elke breuk als een decimaal getal. Voor eenvoudige breuken zonder variabelen, kunt u elke breuk eenvoudig als een decimaal getal uitdrukken om de gelijkwaardigheid te bepalen. Aangezien elke breuk eigenlijk een delingprobleem is, is dit de eenvoudigste manier om de gelijkwaardigheid te bepalen.
    • Neem bijvoorbeeld onze eerder gebruikte 4/8. De breuk 4/8 is equivalent aan gezegde 4 gedeeld door 8, wat 4/8 = 0,5 is. Je kunt ook het andere voorbeeld oplossen, dat is 8/16 = 0,5. Ongeacht de termen van een breuk, ze zijn equivalent als de twee getallen exact hetzelfde zijn uitgedrukt als een decimaal.
    • Onthoud dat de decimale uitdrukking meerdere cijfers kan bevatten voordat het gebrek aan gelijkwaardigheid duidelijk wordt. Als een eenvoudig voorbeeld, 1/3 = 0,333 herhalen terwijl 3/10 = 0,3. Door meer dan één cijfer te gebruiken, zien we dat deze twee breuken niet equivalent zijn.
  2. 2 Deel de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde getal om een ​​gelijkwaardige breuk te krijgen. Voor complexere breuken vereist de verdelingsmethode aanvullende stappen. Net als bij de methode voor vermenigvuldigen, kunt u de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde getal verdelen om een ​​equivalente breuk te verkrijgen. Er is een voorbehoud bij dit proces. De resulterende breuk moet hele getallen in zowel de teller als de noemer geldig hebben.
    • Laten we bijvoorbeeld 4/8 opnieuw bekijken. Als we in plaats van vermenigvuldigen verdelen zowel de teller als de noemer met 2, we krijgen (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 en 4 zijn beide hele getallen, dus deze equivalente breuk is geldig.
  3. 3 Verminder de breuken naar hun laagste termen. De meeste breuken moeten meestal in de laagste termen worden uitgedrukt en u kunt fracties converteren naar hun eenvoudigste termen door te delen door hun grootste gemene deler (GCF). Deze stap werkt met dezelfde logica van het uitdrukken van equivalente breuken door ze om te zetten in dezelfde noemer, maar deze methode tracht elke breuk te reduceren tot zijn laagste uitdrukbare termen.
    • Als een breuk in de eenvoudigste bewoordingen staat, zijn de teller en de noemer beide zo klein als ze kunnen zijn. Geen van beide kan worden gedeeld door het gehele getal om iets kleins te verkrijgen. Om een ​​breuk te converteren die dat is niet in eenvoudigste bewoordingen in een equivalente vorm dat is, we delen de teller en noemer door hun grootste gemeenschappelijke factor.
    • De grootste gemene deler (GCF) van de teller en de noemer is het grootste getal dat in beide deelt om een ​​resultaat voor het hele getal te krijgen. Dus, in ons 4/8 voorbeeld, sinds 4 is het grootste aantal dat gelijk verdeeld is in zowel 4 als 8, we zouden de teller en noemer van onze breuk door 4 delen om het in eenvoudigste termen te krijgen. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. Voor ons andere voorbeeld van 8/16 is de GCF 8, wat ook resulteert in 1/2 als de eenvoudigste uitdrukking van de breuk.

Methode vier van vijf:
Cross-vermenigvuldiging gebruiken om een ​​variabele op te lossen

  1. 1 Stel de twee breuken gelijk aan elkaar. We gebruiken cross-vermenigvuldiging voor wiskundige problemen waarbij we weten dat de breuken equivalent zijn, maar een van de getallen is vervangen door een variabele (meestal x) waarvoor we moeten oplossen. In dergelijke gevallen weten we dat deze breuken hetzelfde zijn omdat ze de enige termen zijn aan weerszijden van een gelijkteken, maar het is vaak niet duidelijk hoe de variabele moet worden opgelost. Gelukkig is het met cross-vermenigvuldiging gemakkelijk om dit soort problemen op te lossen.[2]
  2. 2 Neem de twee equivalente breuken en vermenigvuldig het gelijkteken in een "X" -vorm. Met andere woorden, u vermenigvuldigt de teller van één breuk met de noemer van de andere en omgekeerd, stelt vervolgens deze twee antwoorden gelijk aan elkaar en lost ze op.[3]
    • Neem onze twee voorbeelden van 4/8 en 8/16. Deze twee bevatten geen variabele, maar we kunnen het concept bewijzen, omdat we al weten dat ze gelijkwaardig zijn. Door vermenigvuldigen met een kruis krijgen we 4 x 16 = 8 x 8, of 64 = 64, wat natuurlijk waar is. Als de twee nummers niet hetzelfde zijn, zijn de breuken niet equivalent.
  3. 3 Introduceer een variabele. Omdat kruisvermenigvuldiging de gemakkelijkste manier is om equivalente breuken te bepalen wanneer u een variabele moet oplossen, laten we een variabele toevoegen.
    • Laten we bijvoorbeeld de vergelijking 2 / x = 10/13 beschouwen. Om vermenigvuldigd te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we 2 bij 13 en 10 bij x, en stellen onze antwoorden gelijk aan elkaar:
      • 2 × 13 = 26
      • 10 x x = 10x
      • 10x = 26. Vanaf hier is het krijgen van een antwoord voor onze variabele een kwestie van eenvoudige algebra. x = 26/10 = 2.6, waarbij de aanvankelijke equivalente fracties 2 / 2,6 = 10/13 worden gemaakt.
  4. 4 Gebruik kruisvermenigvuldiging voor vergelijkingen met meerdere variabelen of variabele uitdrukkingen. Een van de beste dingen aan kruisvermenigvuldiging is dat het in wezen op dezelfde manier werkt, of je nu te maken hebt met twee eenvoudige breuken (zoals hierboven) of met meer complexe breuken. Als beide breuken bijvoorbeeld variabelen bevatten, moet u deze variabelen aan het einde elimineren tijdens het oplossende proces. Evenzo, als de tellers of noemers van uw breuken variabele uitdrukkingen bevatten (zoals x + 1), gewoon "vermenigvuldigen" door de distributieve eigenschap te gebruiken en op te lossen zoals u normaal zou doen.[4]
    • Laten we bijvoorbeeld de vergelijking ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4) beschouwen. In dit geval, zoals hierboven, lossen we op door vermenigvuldigen met:
      • (x + 3) × 4 = 4x + 12
      • (x + 1) x 2 = 2x + 2
      • 2x + 2 = 4x + 12, dan kunnen we de vergelijking vereenvoudigen door 2x van beide kanten af ​​te trekken
      • 2 = 2x + 12, dan moeten we de variabele isoleren door 12 van beide kanten af ​​te trekken
      • -10 = 2x, en deel door 2 om op te lossen voor x
      • -5 = x

Methode vijf van vijf:
De kwadratische formule gebruiken om variabelen op te lossen

  1. 1 Kruis vermenigvuldig de twee breuken. Voor equivalentieproblemen waarvoor de kwadratische formule vereist is, beginnen we nog steeds met behulp van dwarse vermenigvuldiging. Een kruiselingse vermenigvuldiging waarbij variabelen met andere variabele termen worden vermenigvuldigd, leidt waarschijnlijk tot een uitdrukking die niet gemakkelijk via algebra kan worden opgelost. In gevallen zoals deze moet u mogelijk technieken zoals factoring en / of de kwadratische formule gebruiken.[5]
    • Laten we bijvoorbeeld de vergelijking bekijken ((x + 1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Laten we eerst vermenigvuldigen:
      • (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
      • 4 × 3 = 12
      • 2x2 - 2 = 12.
  2. 2 Druk de vergelijking uit als een kwadratische vergelijking. Op dit punt willen we deze vergelijking in kwadratische vorm uitdrukken (bijl2 + bx + c = 0), wat we doen door de vergelijking gelijk te stellen aan nul. In dit geval trekken we 12 van beide kanten af ​​om 2x te worden2 - 14 = 0.
    • Sommige waarden kunnen gelijk zijn aan 0. Hoewel 2x2 - 14 = 0 is de eenvoudigste vorm van onze vergelijking, de echte kwadratische vergelijking is 2x2 + 0x + (-14) = 0. Het zal waarschijnlijk al vroeg helpen om de vorm van de kwadratische vergelijking te spiegelen, zelfs als sommige waarden 0 zijn.
  3. 3 Los dit op door de getallen uit uw kwadratische vergelijking in de kwadratische formule in te voegen. De kwadratische formule (x = (-b +/- √ (b2 - 4ac)) / 2a) zal ons helpen om op dit punt onze waarde x op te lossen.[6] Laat je niet intimideren door de lengte van de formule. Je neemt gewoon de waarden uit je kwadratische vergelijking in stap twee en plugt ze op de juiste plekken voordat je ze oplost.
    • x = (-b +/- √ (b2 - 4ac)) / 2a. In onze vergelijking, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 en c = -14.
    • x = (-0 +/- √ (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
    • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
    • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
    • x = (+/- 10.58 / 4)
    • x = +/- 2.64
  4. 4 Controleer uw antwoord door de x-waarde weer in te pluggen in uw kwadratische vergelijking. Door de berekende waarde van x in te pluggen in uw kwadratische vergelijking van stap twee, kunt u eenvoudig bepalen of u het juiste antwoord hebt bereikt.[7] In dit voorbeeld sluit u zowel 2,64 als -2,64 aan op de originele kwadratische vergelijking.