Hoe te integreren met behulp van uitbreidingen van de gamma-functie

Het hoofdartikel over integratie met behulp van de Gamma-functie vertelt hoe de Gamma-functie wordt gebruikt om eenvoudige integralen te evalueren. Wanneer we de logaritmische functie en de bijbehorende bevoegdheden opnemen, kunnen we de Gamma-functie niet meer direct gebruiken. Er zijn echter reeksuitbreidingen die we kunnen gebruiken om dit soort integralen te evalueren (hieronder weergegeven), die we in dit artikel bespreken. hieronder $\ displaystyle a, \, b, \, c,$ en $\ displaystyle d$ zijn constanten zodanig dat de integraal convergeert, en $\ displaystyle b$ is een heel getal.

$\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ a \ ln ^ b xe ^ - cx ^ d \ mathrm d x$

Deel een van de vier:
voorrondes

1. 1 Schrijf de uitbreiding van de Gamma-functie op vanuit de integrale definitie. Concreet willen we schrijven $\ displaystyle \ Gamma (1+ \ epsilon),$ waar $\ displaystyle \ epsilon$ is een klein aantal, en schrijf zijn Taylor-serie op $\ displaystyle \ epsilon = 0.$ Dit is gemakkelijk te doen - we herschrijven eenvoudig $\ displaystyle x ^ \ epsilon = e ^ \ epsilon \ ln x$ en schrijf de exponentiële term in termen van zijn Taylor-serie.
   • $\ displaystyle \ Gamma (1+ \ epsilon) = \ int _ 0 ^ \ infty x ^ \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ sum _ n = 0 ^ \ infty \ frac \ epsilon ^ n n! \ Int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ n xe ^ - x \ mathrm d x$
2. 2 Schrijf de uitbreiding van de Gamma-functie uit de oneindige productdefinitie. Zie de tips voor de afleiding. Merk op dat we de logaritme van de Gamma-functie opschrijven. hieronder $\ displaystyle \ gamma$ is de Euler-Mascheroni constant en $\ displaystyle \ zeta (j)$ is de Riemann-zetafunctie.
   • $\ displaystyle \ ln \ Gamma (1+ \ epsilon) = - \ gamma \ epsilon + \ sum _ j = 2 ^ \ infty \ frac (-1) ^ j \ zeta (j) j \ epsilon ^ j$
   • Het doel van het gebruik van deze twee verschillende uitdrukkingen is om de coëfficiënten van gelijk te stellen $\ displaystyle \ epsilon.$ Omdat $\ displaystyle \ epsilon$ is een klein aantal, we kunnen veilig hogere ordervoorwaarden negeren. We kunnen dan de integraal evalueren omdat de integraal onderdeel is van de coëfficiënt van een $\ displaystyle \ epsilon$ termijn.
3. 3 Schrijf de duplicatieformule van Legendre op. Voor bepaalde integralen waarvoor een uitbreiding nodig is $\ displaystyle \ Gamma (1/2 + \ epsilon),$ we kunnen een duplicatieformule gebruiken om expressies voor te verkrijgen $\ displaystyle \ Gamma$ waarvoor we de uitbreidingen van kennen.^[1] Hieronder schreven we de formule expliciet uit.
   • $\ displaystyle \ Gamma (1/2 + \ epsilon) = \ frac \ sqrt \ pi 2 ^ 2 \ epsilon \ frac \ Gamma (1 + 2 \ epsilon) \ Gamma (1+ \ epsilon)$
   • Deze formule zal in Voorbeeld 2 worden gebruikt.
4. 4 Schrijf de definitie van de digamma-functie op. De digamma-functie is het logaritmische derivaat van de Gamma-functie, dat meer in het algemeen wordt gebruikt voor het evalueren van de typen integralen die in dit artikel worden besproken.
   • $\ displaystyle \ Psi (z) = \ frac \ mathrm d \ mathrm d z \ ln \ Gamma (z) = \ frac \ Gamma ^ \ prime ( z) \ Gamma (z)$
   • We kunnen dan deze functie gebruiken om coëfficiënten van te vinden $\ displaystyle \ epsilon$ in uitbreidingen van de Taylor-reeks rond andere punten dan 1. We zullen dit in Voorbeeld 3 gebruiken.

Deel twee van vier:
voorbeeld 1

1. 1 Evalueer de integraal hieronder. Zoals we in de bovenstaande bespreking zagen, zijn de meest relevante integralen waarop we Gamma-functie-uitbreidingen kunnen gebruiken, integralen met een rottende exponentiële term en een logaritmische functie verhoogd tot een positief geheel getal.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x$
2. 2 Beschouw de integraal hieronder. De toevoeging van de $\ displaystyle x ^ 3$ termijn betekent dat we een kleine wijziging moeten aanbrengen. We zullen moeten gebruiken $\ displaystyle x ^ 3+ \ epsilon$ in plaats daarvan.
   • $\ displaystyle \ begin uitgelijnd \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3+ \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x & = \ Gamma (4+ \ epsilon ) = (3+ \ epsilon) (2+ \ epsilon) (1+ \ epsilon) \ Gamma (1+ \ epsilon) \ & = \ sum _ n = 0 ^ \ infty \ frac \ epsilon ^ n n! \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 \ ln ^ n xe ^ - x \ mathrm d x \ end uitgelijnde$
3. 3 Uitvouwen en uitschrijven $\ displaystyle \ Gamma (1+ \ epsilon)$ naar de 2e bestelling. Omdat $\ displaystyle \ ln ^ 2 x$ in de integrand wordt naar de 2e orde gebracht, we willen de coëfficiënt van vinden $\ displaystyle \ epsilon ^ 2$ terwijl alle termen van de hogere orde verwaarloosd worden. Vanwege de faculteit in de integrale uitdrukking, zullen we ons antwoord uiteindelijk vermenigvuldigen met $\ displaystyle 2! = 2.$ Voor nu breiden we eerst uit.
   • $\ displaystyle \ begin uitgelijnd \ Gamma (4+ \ epsilon) & = (3+ \ epsilon) (2+ \ epsilon) (1+ \ epsilon) \ Gamma (1+ \ epsilon) \ & \ approx 6 \ left (1 + \ frac 11 6 \ epsilon + \ epsilon ^ 2 \ right) e ^ - \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 \ end aligned$
4. 4 Breid de Taylor-serie uit van de exponentiële naar de 2e orde. Nogmaals, we negeren alle hogere orde exponenten, dus we hoeven deze termen niet op te nemen.
   • $\ displaystyle \ begin uitgelijnd e ^ - \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 & \ approx 1+ \ left (- \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 \ right) + \ frac 1 2! \ left (- \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 \ right) ^ 2 \ & \ approx 1- \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 + \ frac \ gamma ^ 2 2 \ epsilon ^ 2 \ end aligned$
5. 5 Combineer de twee termen. Nogmaals, negeer hogere-orde termen.
   • $\ displaystyle \ begin uitgelijnd \ Gamma (1+ \ epsilon) & \ approx 6 \ left (1 + \ frac 11 6 \ epsilon + \ epsilon ^ 2 \ right) \ left (1- \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 + \ frac \ gamma ^ 2 2 \ epsilon ^ 2 \ right) \ & \ approx 6 \ left (1+ \ left (- \ gamma + \ frac 11 6 \ right) \ epsilon + \ left (\ frac \ zeta (2) 2 + \ frac \ gamma ^ 2 2 - \ frac 11 \ gamma 6 + 1 \ right) \ epsilon ^ 2 \ right) \ & \ approx 6+ (11-6 \ gamma) \ epsilon + (3 \ zeta (2) +3 \ gamma ^ 2 -11 \ gamma +6) \ epsilon ^ 2 \ end aligned$
6. 6 Evalueer de integraal door coëfficiënten gelijk te stellen. Vergeet niet om de coëfficiënt van te vermenigvuldigen $\ displaystyle \ epsilon ^ 2$ door 2 vanwege de faculteit komen we bij ons antwoord.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x = 6 \ zeta (2) +6 \ gamma ^ 2 -22 \ gamma +12$
   • Ons antwoord geeft ons ook gratis de integralen van lagere machten van de logaritme.
     • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 \ ln xe ^ - x \ mathrm d x = 11-6 \ gamma$
     • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 e ^ - x \ mathrm d x = 6$
7. 7 Evalueer de integralen hieronder. Gebruik het bovenstaande voorbeeld om de volgende integralen te controleren door de voorwaarden te behouden $\ displaystyle \ epsilon ^ 4.$ De andere integralen zouden eruit moeten komen als resultaat van het verkrijgen van de eerste integraal. U kunt uw antwoorden achterlaten in termen van $\ displaystyle \ zeta.$ Het is interessant om op te merken dat de laatste integraal in deze lijst opkomt bij het berekenen van de Laplace-transformatie van de natuurlijke logaritme.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ 4 xe ^ - x \ mathrm d x = 6 \ zeta (4) +8 \ gamma \ zeta (3) +3 \ zeta ^ 2 (2) +6 \ gamma ^ 2 \ zeta (2) + \ gamma ^ 4$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ 3 xe ^ - x \ mathrm d x = -2 \ zeta (3) -3 \ gamma \ zeta (2 ) - \ gamma ^ 3$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x = \ zeta (2) + \ gamma ^ 2$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ ln xe ^ - x \ mathrm d x = - \ gamma$

Deel drie van vier:
Voorbeeld 2: Duplicatieformule van Legendre

1. 1 Evalueer de integraal hieronder. Dit voorbeeld is een uitstekend voorbeeld van een integraal waaruit we onze technieken niet direct kunnen toepassen, omdat we hiervoor geen uitbreiding hebben $\ displaystyle \ Gamma (1/2 + \ epsilon).$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x$
2. 2 Beschouw de integraal hieronder. We beginnen met het toepassen van de standaardbehandeling.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/2 + \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ sum _ n = 0 ^ \ infty \ frac \ epsilon ^ n n! \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x \ ln ^ n xe ^ - x \ mathrm d x$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/2 + \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ Gamma \ left (\ frac 3 2 + \ epsilon \ right) = \ left (\ frac 1 2 + \ epsilon \ right) \ Gamma \ left (\ frac 1 2 + \ epsilon \ right )$
   • Zoals we kunnen zien, houdt onze berekening in $\ displaystyle \ Gamma (1/2 + \ epsilon),$ waar we geen uitbreiding voor hebben.
3. 3 Gebruik de duplicatieformule van Legendre. De manier om dit te omzeilen is door de duplicatieformule te gebruiken. Alleen dan schrijven we deze Gamma-functies naar de 2e orde.We veranderen ook de basis van $\ displaystyle 2 ^ 2 \ epsilon$ naar $\ displaystyle e ^ 2 \ ln 2 \ epsilon$ om de algebra eenvoudiger te maken.
   • $\ displaystyle \ begin uitgelijnd \ Gamma \ links (\ frac 1 2 + \ epsilon \ right) & \ approx \ frac \ sqrt \ pi e ^ - \ gamma (2 \ epsilon) + \ frac \ zeta (2) 2 (2 \ epsilon) ^ 2 e ^ 2 \ ln 2 \ epsilon e ^ - \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 \ & \ approx \ sqrt \ pi e ^ - \ gamma \ epsilon -2 \ ln 2 \ epsilon + \ frac 3 2 \ zeta (2) \ epsilon ^ 2 \ & \ approx \ sqrt \ pi \ left (1- \ gamma \ epsilon -2 \ ln 2 \ epsilon + \ frac 3 2 \ zeta (2) \ epsilon ^ 2 + \ frac 1 2 (\ gamma +2 \ ln 2) ^ 2 \ epsilon ^ 2 \ right) \ end aligned$
4. 4 Vermenigvuldigen met $\ displaystyle (1/2 + \ epsilon)$. Na het vereenvoudigen en vermenigvuldigen met 2 om rekening te houden met de faculteit, komen we bij het onderstaande antwoord.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x = \ frac \ sqrt \ pi 2 (3 \ zeta (2) + \ gamma ^ 2 +4 \ gamma \ ln 2 + 4 \ ln ^ 2 2-4 \ gamma -8 \ ln 2)$
   • Zoals gebruikelijk, krijgen we ook nog twee extra integralen als resultaat van ons werk. Dit laatste is natuurlijk eenvoudig $\ displaystyle \ Gamma (3/2).$
     • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x \ ln xe ^ - x \ mathrm d x = \ sqrt \ pi \ left (1 - \ frac \ gamma 2 - \ ln 2 \ right)$
     • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x e ^ - x \ mathrm d x = \ frac \ sqrt \ pi 2$

Deel vier van vier:
Voorbeeld 3: Digamma-functie

1. 1 Evalueer de integraal hieronder. De exponent op de machtsterm is 1/3 in plaats van 1/2, wat betekent dat we de duplicatieformule van Legendre niet kunnen gebruiken.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 \ ln xe ^ - x \ mathrm d x$
2. 2 Beschouw de integraal hieronder. Zoals gewoonlijk beschouwen we de alternatieve integraal en herschrijven deze als onderdeel van een Taylor-serie. Omdat de macht op het log 1 is, moeten we de coëfficiënt van vinden $\ displaystyle \ epsilon.$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 + \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ sum _ n = 0 ^ \ infty \ frac \ epsilon ^ n n! \ int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ n xe ^ - x \ mathrm d x$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 + \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ left (\ frac 1 3 + \ epsilon \ right) \ Gamma \ left (\ frac 1 3 + \ epsilon \ right)$
3. 3 Gebruik de digamma-functie om uit te schrijven $\ displaystyle \ Gamma (1/3 + \ epsilon)$ naar de eerste bestelling. Dit is gemakkelijk - we breiden eenvoudigweg uit met behulp van de Taylor-serie, waarbij we opmerken dat $\ displaystyle \ Gamma ^ \ prime (1/3) = \ Gamma (1/3) \ Psi (1/3).$
   • $\ displaystyle \ Gamma (1/3 + \ epsilon) \ approx \ Gamma (1/3) + \ left (\ Gamma (1/3) \ Psi (1/3) \ right) \ epsilon$
   • $\ displaystyle (1/3 + \ epsilon) \ Gamma (1/3 + \ epsilon) \ approx \ frac 1 3 \ Gamma (1/3) + \ left [\ frac 1 3 \ Gamma (1/3) \ Psi (1/3) + \ Gamma (1/3) \ right] \ epsilon$
   • Het blijkt dat er methoden zijn voor het berekenen van exacte waarden voor sommige rationele argumenten van de digamma-functie. We zullen hier hier echter niet op ingaan. De specifieke waarde van $\ displaystyle \ Psi (1/3)$ is precies te vinden en wordt hieronder gegeven.
     • $\ displaystyle \ Psi (1/3) = - \ gamma - \ frac \ sqrt 3 \ pi 6 - \ frac 3 2 \ ln 3$
4. 4 Evalueer door coëfficiënten gelijk te stellen. Merk op dat we de integraal met de lagere kracht gratis krijgen. Natuurlijk is de integrale gelijkwaardig per definitie $\ displaystyle \ Gamma (4/3).$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 \ ln xe ^ - x \ mathrm d x = \ frac 1 3 \ Gamma (1/3) \ Psi (1/3) + \ Gamma (1/3)$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 e ^ - x \ mathrm d x = \ frac \ Gamma (1/3) 3$