Hoe de Sinc-functie te integreren

De kardinale sinusfunctie, ook bekend als de oprechte functie, is de functie

$\ displaystyle \ operatorname sinc x = \ begin cases \ dfrac \ sin x x & \ text if x \ neq 0, \\ \ \ 1 & \ text if x = 0. \ end cases$

Deze functie verschijnt vaak het eerst als een voorbeeld van evaluatie van limieten, en dat is bekend $\ displaystyle \ lim _ x \ to 0 \ frac \ sin x x = 1;$ daarom, waarom de functie op 0 wordt gedefinieerd als die beperkende waarde. Deze functie vindt echter voornamelijk een bredere toepasbaarheid in signaalanalyse en gerelateerde velden. De Fourier-transformatie van een rechthoekige puls is bijvoorbeeld de sinc-functie.

Het evalueren van de integraal van deze functie is nogal moeilijk omdat het antiderivatief van de sinc-functie niet kan worden uitgedrukt in termen van elementaire functies. Dit betekent dat we de fundamentele stelling van calculus niet rechtstreeks kunnen toepassen. In plaats daarvan gebruiken we de truc van Richard Feynman om te differentiëren onder de integraal. We zullen ook een meer algemene oplossing laten zien met behulp van residu-theorie.

Methode één van de twee:
Differentiatie onder de integraal

1. 1 Begin met de integraal die moet worden geëvalueerd. We evalueren over de gehele reële lijn, dus de limieten zijn positief en negatief oneindig. Hierboven ziet u een visualisatie van de functie met beide definities - niet genormaliseerd (in rood) en genormaliseerd (in blauw). We zullen het evalueren genormaliseerde oprechte functie.
   • $\ displaystyle \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x$
   • We zien uit de grafiek dat $\ displaystyle \ frac \ sin x x$ is een even functie, die kan worden bevestigd door naar de bovenstaande functie te kijken. Dan kunnen we een 2 wegwerken.
     • $\ displaystyle 2 \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x$
   • De integraal hierboven met grenzen van 0 tot oneindig is ook bekend als de Dirichlet integraal.
2. 2 Definieer een functie $\ displaystyle G (t)$. Het doel van het definiëren van een dergelijke functie met een argument $\ displaystyle t$ is zodat we kunnen werken met een integraal die gemakkelijker te evalueren is, terwijl we voldoen aan de voorwaarden van de integere integraal voor de juiste waarden van $\ displaystyle t.$ Met andere woorden, het plaatsen van de $\ displaystyle e ^ - tx$ term binnen de integraal is geldig, omdat de integraal voor iedereen samenkomt $\ displaystyle t \ geq 0,$ tijdens het instellen $\ displaystyle t = 0$ herstelt de originele integraal. Deze herformulering betekent dat we uiteindelijk evalueren $\ displaystyle G (0).$
   • $\ displaystyle G (t) = \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ sin x x e ^ - tx \ mathrm d x$
3. 3 Onderscheid onder de integraal. We kunnen het derivaat verplaatsen onder het integratieteken omdat de integraal wordt genomen met betrekking tot een andere variabele. Hoewel we deze bewerking hier niet rechtvaardigen, is deze breed toepasbaar voor een groot aantal functies. Onthoud dat $\ displaystyle t$ moet tijdens de hele evaluatie als een variabele worden behandeld, en niet als een constante.
   • $\ displaystyle \ begin uitgelijnd \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t & = \ frac \ mathrm d \ mathrm d t \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ sin x x e ^ - tx \ mathrm d x \ & = \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ partial \ partial t e ^ - tx \ frac \ sin x x \ mathrm d x \ & = - \ int _ 0 ^ \ infty e ^ - tx \ sin x \ mathrm d x \ end aligned$
4. 4 schatten $\ displaystyle \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t$. Dit is in feite de evaluatie voor de Laplace-transformatie van $\ displaystyle \ sin x.$ De meest basale manier om deze integraal te evalueren, is door gebruik te maken van integratie door onderdelen, die we hieronder uitwerken. Bekijk de tips voor een krachtigere manier om dit te integreren. Besteed aandacht aan de tekens.
   • $\ displaystyle \ begin uitgelijnd \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t & = e ^ - tx \ cos x \ Big | _ 0 ^ \ infty + \ int _ 0 ^ \ infty te ^ - tx \ cos x \ mathrm d x \ & = e ^ - tx \ cos x \ Big | _ 0 ^ \ infty + \ left [te ^ - tx \ sin x \ Big | _ 0 ^ \ infty + \ int _ 0 ^ \ infty t ^ 2 e ^ - tx \ sin x \ mathrm d x \ right] \ & = e ^ - tx \ cos x \ Big | _ 0 ^ \ infty + te ^ - tx \ sin x \ Big | _ 0 ^ \ infty -t ^ 2 \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t \ end aligned$
   • $\ displaystyle \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t (1 + t ^ 2) = (0-1) + (0-0)$
   • $\ displaystyle \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t = - \ frac 1 1 + t ^ 2$
5. 5 Integreer beide kanten met betrekking tot $\ displaystyle t$. Dit herstelt $\ displaystyle G (t)$ onder een andere variabele. Omdat de integrand het verschil is van een bekende functie, is deze evaluatie triviaal.
   • $\ displaystyle - \ int \ frac 1 1 + t ^ 2 \ mathrm d t = - \ tan ^ - 1 t + C$
   • Hier herkennen we dat $\ displaystyle G (t) = 0$ als $\ displaystyle t \ to \ infty$ voor zowel deze integraal als diegene gedefinieerd in stap 2. Echter, $\ displaystyle \ lim _ t \ to \ infty \ tan ^ - 1 t = \ frac \ pi 2,$ zo $\ displaystyle C = \ frac \ pi 2$ ook.
   • daarom $\ displaystyle G (t) = - \ tan ^ - 1 t + \ frac \ pi 2.$
6. 6 Evalueer de integere integraal. Nu dat we hebben $\ displaystyle G (t),$ waar $\ displaystyle t \ geq 0,$ we kunnen 0 vervangen door $\ displaystyle t$ en vind dat $\ displaystyle G (0) = \ frac \ pi 2.$
   • $\ displaystyle G (0) = \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x = \ frac \ pi 2$
   • Tenslotte herinneren we ons dat om te integreren over alle realen, we simpelweg vermenigvuldigen met 2, als $\ displaystyle \ operatorname sinc x$ is een even functie.
     • $\ displaystyle \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x = \ pi$
   • Het is de moeite waard om dit antwoord te onthouden, omdat het in meerdere contexten kan verschijnen.

Methode twee van twee:
Residentheorie

1. 1 Beschouw de integraal hieronder. Herhaal dat $\ displaystyle \ sin x$ is gewoon het imaginaire deel van de exponentiële functie $\ displaystyle e ^ ix.$ Deze integraal is continu behalve de singulariteit op $\ displaystyle x = 0.$
   • $\ displaystyle \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac e ^ ix x \ mathrm d x$
2. 2 Beschouw de contour integraal met een ingesprongen contour. De eenvoudigste onjuiste integralen die zijn geëvalueerd met behulp van residu-theorie gebruiken een halfronde boog die de echte lijn van een bepaalde grens volgt $\ displaystyle -a$ naar $\ displaystyle a$ en bogen tegen de klok in terug naar $\ displaystyle -a,$ terwijl $\ displaystyle a \ to \ infty.$ We kunnen dit echter niet gebruiken vanwege de paal aan de oorsprong. De oplossing is om een ​​ingesprongen contour te gebruiken die rond de paal loopt.
   • $\ displaystyle \ int _ \ Gamma \ frac e ^ iz z \ mathrm d z$
   • De contour $\ displaystyle \ Gamma$ is opgesplitst in vier delen. We beginnen met $\ displaystyle -a$ en doorkruis de echte lijn naar een klein aantal $\ displaystyle - \ epsilon.$ Dan een halfronde boog $\ displaystyle \ gamma _ \ epsilon$ met straal $\ displaystyle \ epsilon$ gaat met de klok mee naar $\ displaystyle \ epsilon$ op de echte as. Deze contour gaat dan naar $\ displaystyle a,$ van waaruit een halfronde boog $\ displaystyle \ gamma _ a$met straal $\ displaystyle a$ gaat tegen de klok in en terug naar $\ displaystyle -a.$ Het belangrijkste om op te merken is dat deze integraal geen enkelvoudigheid heeft binnen de contour, en is daarom 0. We kunnen daarom het volgende schrijven.
   • $\ displaystyle \ int _ - a ^ - \ epsilon \ frac e ^ ix x \ mathrm d x + \ int _ \ epsilon ^ a \ frac e ^ ix x \ mathrm d x = - \ int _ \ gamma _ \ epsilon \ frac e ^ iz z \ mathrm d z- \ int _ \ gamma _ a \ frac e ^ iz z \ mathrm d z$
3. 3 Gebruik Jordan's lemma om het te evalueren $\ displaystyle \ gamma _ a$ integraal. Typisch, om deze integraal te laten verdwijnen, moet de noemer minstens twee groter zijn dan de graad van de teller. Jordan's lemma zegt dat als zo'n rationele functie wordt vermenigvuldigd met een $\ displaystyle e ^ iz$ termijn, dan hoeft de noemer slechts op zijn minst één groter te zijn. Daarom verdwijnt deze integraal.
   • $\ displaystyle \ int _ \ gamma _ a \ frac e ^ iz z \ mathrm d z = 0$
4. 4 Evalueer de $\ displaystyle \ gamma _ \ epsilon$ integraal.
   • Als u bekend bent met contourintegralen van $\ displaystyle \ frac 1 z$ met cirkelboogcontouren, het voorbeeld houdt in dat de integraal afhankelijk is van de hoek die de boog doorloopt.In ons voorbeeld wordt de boog vanuit de invalshoek geïntegreerd $\ displaystyle \ pi$ naar $\ displaystyle 0$ met de klok mee. Zo'n integraal zal daarom gelijk zijn $\ displaystyle - \ pi i.$
   • We kunnen dit resultaat generaliseren naar bogen van elke hoek, maar wat nog belangrijker is, voor residuen. Zie de tips voor de stelling die deze stap gebruikt. Het residu aan de oorsprong is gemakkelijk te vinden $\ displaystyle \ operatorname Res (0) = 1.$
     • $\ displaystyle \ lim _ \ epsilon \ to 0 ^ + \ int _ \ gamma _ \ epsilon \ frac e ^ iz z \ mathrm d z = - \ pi i \ operatorname Res (0) = - \ pi i$
5. 5 Kom aan bij het antwoord op onze integraal. Omdat $\ displaystyle \ epsilon \ to 0$ en $\ displaystyle a \ to \ infty,$ negeer ons resultaat (zie stap 2) om bij ons antwoord te komen.
   • $\ displaystyle \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac e ^ ix x \ mathrm d x = \ int _ - a ^ - \ epsilon \ frac e ^ ix x \ mathrm d x + \ int _ \ epsilon ^ a \ frac e ^ ix x \ mathrm d x = \ pi i$
6. 6 Beschouw het imaginaire deel van de integraal hierboven. Het bovenstaande resultaat geeft ons echt twee echte resultaten. Allereerst volgt meteen de integraal van de sinc-functie.
   • $\ displaystyle \ operatorname Im \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac e ^ ix x \ mathrm d x = \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x = \ pi$
   • Ten tweede de integraal van een gerelateerde functie $\ displaystyle \ frac \ cos x x$ volgt ook als we het echte deel van ons resultaat nemen, dat is 0. Dit is te verwachten, omdat deze functie vreemd is.