Hoe te integreren door substitutie

Wanneer u een functie tegenkomt die in een andere functie is genest, kunt u niet integreren zoals u normaal zou doen. In dat geval moet u u-vervanging gebruiken.

Deel een van de drie:
Onbepaalde integraal

1. 1 Bepaal wat u zult gebruiken als u. Het vinden van jou is misschien wel het moeilijkste deel van u-substitutie, maar terwijl je oefent, wordt het natuurlijker. Over het algemeen betreft een goede u-sub de afgeleide van u die een deel van de integrand annuleert. De gemakkelijkste integralen zijn die waarbij het een functie bevat $\ displaystyle ax$ (een veelvoud van $\ displaystyle x$) genest binnen een andere elementaire functie - in deze gevallen is de geneste functie u.
   • Beschouw de integraal $\ displaystyle \ int \ sin (2x) \ mathrm d x.$
   • Hier, de functie $\ displaystyle 2x$ is genest in een andere elementaire functie, de sinusfunctie. Omdat de afgeleide van $\ displaystyle 2x$ is gewoon een constante, we hoeven ons geen zorgen te maken over het introduceren van onnodige variabelen. Ververs daarom $\ displaystyle u = 2x.$
2. 2 Zoek du. Neem de afgeleide van u met betrekking tot x en los op voor du.
   • $\ displaystyle \ start aligned \ frac \ mathrm d u \ mathrm d x & = 2 \ \ mathrm d u & = 2 \ mathrm d x \ end aligned$
   • Naarmate je je techniek verbetert, spring je uiteindelijk rechtstreeks naar het verschil in plaats van er voor te zorgen.
3. 3 Herschrijf uw integraal in termen van u.
   • $\ displaystyle \ int \ sin (2x) \ mathrm d x = \ frac 1 2 \ int \ sin u \ mathrm d u$
   • Hier hebben we de integraal met du geschreven door dx op te lossen en te vervangen. Dit is de reden waarom er een extra 1/2 term is (die we kunnen weglaten).
   • Als u met een variabele overblijft die niet u is na het vervangen van iets dat u kunt met u en du, soms het oplossen voor die variabele in termen van u en het vervangen ervan werkt. Dit wordt back-substitutie genoemd en het onderstaande aanvullende voorbeeld zal een dergelijke substitutie gebruiken.
4. 4 Integreren.
   • $\ displaystyle \ frac 1 2 \ int \ sin u = - \ frac 1 2 \ cos u + C$
5. 5 Schrijf uw antwoord in termen van uw oorspronkelijke variabele. Vervang u door wat u eerder hebt ingesteld.
   • $\ displaystyle - \ frac 1 2 \ cos u + C = - \ frac 1 2 \ cos (2x) + C$
   • Zoals we kunnen zien, is u-substitutie slechts het analogon van de kettingregel uit differentiaalrekening.

Tweede deel van de drie:
Zeker integraal

1. 1 Bepaal wat u zult gebruiken als u. Dit voorbeeld demonstreert u-vervanging van bepaalde integralen en trigonometrische functies.
   • Beschouw de integraal $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ pi \ sin ^ 3 \ theta \ mathrm d \ theta.$
   • Merk op dat deze functie geen geneste functie heeft binnen een andere functie die we kunnen gebruiken. Als we dit beschouwen als een gesplitste sinusfunctie, zal de resulterende u-sub ons nergens brengen. Gebruik echter de trigonometrische identiteit $\ displaystyle \ sin ^ 2 \ theta = 1- \ cos ^ 2 \ theta,$ we kunnen de integrand herschrijven als $\ displaystyle (1- \ cos ^ 2 \ theta) \ sin \ theta.$
   • Herhaal dat $\ displaystyle \ frac \ mathrm d \ mathrm d \ theta \ cos \ theta = - \ sin \ theta.$ Vergeet niet dat we in het algemeen u willen zodat het differentieel uiteindelijk een deel van de integrand annuleert. In dit geval, de $\ displaystyle \ sin \ theta.$
   • Ververs daarom $\ displaystyle u = \ cos \ theta.$
2. 2 Zoek du. Neem de afgeleide van u en los op voor du.
   • Van boven, $\ displaystyle \ mathrm d u = - \ sin \ theta \ mathrm d \ theta.$
3. 3 Herschrijf je integraal zodat je hem kunt uitdrukken in termen van jou. Zorg ervoor dat je ook je grenzen verandert, omdat je variabelen hebt veranderd. Om dit te doen, vervangt u simpelweg de grenzen in uw u-substitutievergelijking.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ pi (1- \ cos ^ 2 \ theta) \ sin \ theta \ mathrm d \ theta = - \ int _ 1 ^ - 1 (1-u ^ 2) \ mathrm d u$
4. 4 De extra $\ displaystyle \ sin \ theta$ netjes annuleert, maar let op het negatieve teken. Realiseer je nu dat het verwisselen van de grenzen de integraal ontkent, zodat we uiteindelijk een positieve integraal krijgen.
   • $\ displaystyle - \ int _ 1 ^ - 1 (1-u ^ 2) \ mathrm d u = \ int _ - 1 ^ 1 (1-u ^ 2) \ mathrm d u$
5. 5 Integreren.
   • De integrand is een even functie en de grenzen zijn symmetrisch. Daarom kunnen we factor 2 weglaten en de ondergrens instellen op 0 om berekeningen te vereenvoudigen.
   • $\ displaystyle \ begin aligned \ int _ - 1 ^ 1 (1-u ^ 2) \ mathrm d u & = 2 \ int _ 0 ^ 1 ( 1-u ^ 2) \ mathrm d u \ & = 2 \ left (1 - \ frac 1 3 \ right) \ & = \ frac 4 3 \ end gericht$
   • We hoefden deze vereenvoudiging niet te doen om het juiste antwoord te krijgen, maar voor meer gecompliceerde integralen is deze techniek nuttig om rekenfouten te voorkomen.
   • Merk op dat we onze integraal niet hebben herschreven in termen van de oorspronkelijke variabele. Sinds we onze grenzen hebben veranderd, zijn de integralen equivalent.Uiteindelijk is het doel om het probleem op de eenvoudigste en meest efficiënte manier mogelijk op te lossen, dus het is niet nodig om meer tijd aan een extra stap te besteden.

Derde deel van de drie:
Aanvullend voorbeeld

1. 1 Evalueer de volgende integraal. Dit is een meer geavanceerd voorbeeld waarin u-substitutie is opgenomen. In deel 1, herinneren we eraan dat we hebben gezegd dat een integraal na het uitvoeren van een u-sub de originele variabelen niet kan annuleren, dus het oplossen voor de variabele in termen van $\ displaystyle u$ en vervanging kan nodig zijn. Dat is ook nodig in dit probleem.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ 2 \ frac x ^ 2 +4 x + 2 \ mathrm d x$
   • We zien dat het derivaat $\ displaystyle x ^ 2 +4$ is $\ displaystyle 2x,$ niet $\ displaystyle x + 2.$ Als we proberen om u onmiddellijk te sub-na, zullen we eindigen met een steeds gecompliceerder uitdrukking, omdat het oplossen van $\ displaystyle x$ aangaande met $\ displaystyle u$ zal eindigen met een vierkantswortel.
2. 2 Herschrijf de teller door het vierkant te voltooien. Merk op dat de teller alleen een a vereist $\ displaystyle 4x$ om het plein te voltooien. Als we gewoon optellen en dan aftrekken $\ displaystyle 4x,$ d.w.z. voeg 0 toe, dan kunnen we het probleem na vereenvoudiging tot een beter beheersbare verminderen.
   • $\ displaystyle \ start aligned \ int _ 0 ^ 2 \ frac x ^ 2 +4 x + 2 \ mathrm d x & = \ int _ 0 ^ 2 \ frac x ^ 2 + 4 + 4x-4x x + 2 \ mathrm d x \ & = \ int _ 0 ^ 2 \ left (\ frac (x + 2) ^ 2 x + 2 - \ frac 4x x + 2 \ right) \ mathrm d x \ & = \ int _ 0 ^ 2 (x + 2) \ mathrm d x-4 \ int _ 0 ^ 2 \ frac x x + 2 \ mathrm d x \ & = 6-4 \ int _ 0 ^ 2 \ frac x x + 2 \ mathrm d x \ end aligned$
   • Het is vermeldenswaard dat deze techniek van het toevoegen van 0 erg nuttig is, vooral in de context van het voltooien van het vierkant. Omdat 0 de additieve identiteit is, hebben we de integraal eigenlijk niet veranderd.
3. 3 Maak de u-sub $\ displaystyle u = x + 2$. De integraal in de laatste regel hierboven is misschien het eenvoudigste type uitdrukking waar dit soort "rugvervanging" vereist is - dat wil zeggen, oplossen voor $\ displaystyle x$ aangaande met $\ displaystyle u$ en dat ook inpluggen $\ displaystyle (x = u-2),$ omdat de u-sub niet alle $\ displaystyle x$ voorwaarden. Vergeet niet om uw grenzen te veranderen.
   • $\ displaystyle \ start aligned 6-4 \ int _ 0 ^ 2 \ frac x x + 2 \ mathrm d x & = 6-4 \ int _ 2 ^ 4 \ frac u-2 u \ mathrm d u \ & = 6-4 \ int _ 2 ^ 4 \ left (1 - \ frac 2 u \ right) \ mathrm d u \ end aligned$
4. 4 Evalueren.
   • $\ displaystyle \ start aligned 6-4 \ int _ 2 ^ 4 \ left (1 - \ frac 2 u \ right) \ mathrm d u & = 6 -4 [u-2 \ ln u] _ 2 ^ 4 \ & = 6-4 [4-2 \ ln 4-2 + 2 \ ln 2] \ & = 6-16 + 8 \ ln 4 + 8-8 \ ln 2 \ & = 8 \ ln 2-2 \ end aligned$