Wanneer getekend, kwadratische vergelijkingen van het formulier bijl2 + bx + c of a (x - h)2 + k geef een gladde U-vormige of een omgekeerde U-vormige curve met de naam a parabool. Het in kaart brengen van een kwadratische vergelijking is een kwestie van het vinden van de top, richting en vaak de x- en y-onderschepping. In het geval van relatief eenvoudige kwadratische vergelijkingen, kan het ook voldoende zijn om een ​​bereik van x-waarden in te pluggen en een curve uit te zetten op basis van de resulterende punten. Zie stap 1 hieronder om aan de slag te gaan.

Stappen

  1. 1 Bepaal welke vorm van kwadratische vergelijking je hebt. De kwadratische vergelijking kan in drie verschillende vormen worden geschreven: de standaardvorm, vertexvorm en de kwadratische vorm. U kunt elk formulier gebruiken om een ​​kwadratische vergelijking in een grafiek weer te geven; het proces voor het tekenen van elk is iets anders. Als je een huiswerkprobleem hebt, ontvang je het probleem meestal in een van deze twee vormen - met andere woorden, je kunt niet kiezen, dus het is het beste om beide te begrijpen. De twee vormen van kwadratische vergelijking zijn:
    • Standaard vorm. In deze vorm wordt de kwadratische vergelijking geschreven als: f (x) = ax2 + bx + c waarbij a, b en c reële getallen zijn en a niet gelijk is aan nul.
      • Twee standaard kwadratische vergelijkingen zijn bijvoorbeeld f (x) = x2 + 2x + 1 en f (x) = 9x2 + 10x -8.
    • Vertex-formulier. In deze vorm wordt de kwadratische vergelijking geschreven als: f (x) = a (x - h)2 + k waarbij a, h en k reële getallen zijn en a niet gelijk is aan nul. Vertex-vorm wordt zo genoemd omdat h en k je direct de vertex (middelpunt) van je parabool op het punt (h, k) geven.
      • Twee vertex-vormvergelijkingen zijn f (x) = 9 (x - 4)2 + 18 en -3 (x - 5)2 + 1
    • Om een ​​van deze typen vergelijkingen te tekenen, moeten we eerst de top van de parabool vinden, het centrale punt (h, k) aan de "punt" van de curve. De coördinaten van de vertex in standaardvorm worden gegeven door: h = -b / 2a en k = f (h), terwijl in de hoekvorm h en k in de vergelijking zijn gespecificeerd.
  2. 2 Definieer uw variabelen. Om een ​​kwadratisch probleem op te lossen, moeten de variabelen a, b en c (of a, h en k) meestal worden gedefinieerd. Een gemiddeld algebra-probleem geeft je een kwadratische vergelijking met de variabelen ingevuld, meestal in standaardvorm, maar soms in vertex-vorm.
    • Bijvoorbeeld voor de standaardformuliervergelijking f (x) = 2x2 + 16x + 39, we hebben a = 2, b = 16 en c = 39.
    • Voor de vertex-vormvergelijking f (x) = 4 (x - 5)2 + 12, we hebben a = 4, h = 5 en k = 12.
  3. 3 Bereken h. In vertex-vormvergelijkingen is je waarde voor h al gegeven, maar in standaardvormvergelijkingen moet deze worden berekend. Onthoud dat, voor standaardvormvergelijkingen, h = -b / 2a.
    • In ons standaard formuliervoorbeeld (f (x) = 2x2 + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Oplossen, we vinden dat h = -4.
    • In ons vertex-voorbeeld (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12), we weten h = 5 zonder wiskunde te doen.
  4. 4 Bereken k. Net als bij h, is k al bekend in vertex-vormvergelijkingen. Voor standaardvormvergelijkingen moet u onthouden dat k = f (h). Met andere woorden, je kunt k vinden door elke instantie van x in je vergelijking te vervangen door de waarde die je net hebt gevonden voor h.
    • We hebben in ons standaard formuliervoorbeeld bepaald dat h = -4. Om k te vinden, lossen we onze vergelijking op met onze waarde voor het vervangen van x door x:
      • k = 2 (-4)2 + 16(-4) + 39.
      • k = 2 (16) - 64 + 39.
      • k = 32 - 64 + 39 = 7
    • In ons voorbeeld in de vorm van een vertex, weten we opnieuw de waarde van k (dat is 12) zonder enige wiskunde te hoeven doen.
  5. 5 Teken uw hoekpunt. De vertex van je parabool is het punt (h, k) - h geeft de x-coördinaat aan, terwijl k de y-coördinaat aangeeft. De vertex is het centrale punt in je parabool - ofwel de bodem van een "U" ofwel de top van een omgekeerde "U." Het kennen van de top is een essentieel onderdeel van het tekenen van een nauwkeurige parabool - vaak, bij schoolwerk, specificeert de vertex een verplicht onderdeel van een vraag.
    • In ons standaard formuliervoorbeeld staat onze top op (-4,7). Onze parabool zal dus 4 spaties links van 0 en 7 spaties boven (0,0) bereiken. We moeten dit punt in onze grafiek uitzetten, waarbij we zeker zijn dat we coördinaten labelen.
    • In ons vertex-voorbeeld staat ons toppunt op (5,12). We moeten een punt 5 plaatsen rechts en 12 spaties boven (0,0).
  6. 6 Teken de as van de parabool (optioneel). De symmetrieas van een parabool is de lijn die door het midden loopt en die perfect in tweeën deelt. Over deze as zal de linkerkant van de parabool de rechterkant weerspiegelen. Voor kwadraten van de vormbijl2 + bx + c of a (x - h)2 + k, de as is een lijn evenwijdig aan de y-as (met andere woorden, perfect verticaal) en loopt door de top.
    • In het geval van ons standaardformulier is de as een lijn evenwijdig aan de y-as en loopt door het punt (-4, 7). Hoewel het geen deel uitmaakt van de parabool zelf, kan het licht markeren van deze lijn in je grafiek je uiteindelijk helpen te zien hoe de parabool symmetrisch kromt.
  7. 7 Zoek de richting van opening. Nadat we de top en de as van de parabool hebben uitgevonden, moeten we weten of de parabool naar boven of naar beneden opent. Gelukkig is dit eenvoudig. Als "a" positief is, zal de parabool naar boven opengaan, terwijl als "a" negatief is, de parabool naar beneden zal openen (d.w.z. deze wordt ondersteboven gedraaid).
    • Voor ons standaard formuliervoorbeeld (f (x) = 2x2 + 16x + 39), we weten dat we een paraboolopening naar boven hebben omdat, in onze vergelijking, a = 2 (positief).
    • Voor ons voorbeeld van een vertex-formulier (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12), we weten dat we ook een paraboolopening naar boven hebben omdat a = 4 (positief).
  8. 8 Zoek zo nodig x-onderscheppingen en teken ze uit. Vaak wordt je op schoolwerk gevraagd om de x-intercepts van een parabool te vinden (die beide ook zijn) een of twee punten waar de parabool de x-as ontmoet). Zelfs als u ze niet zult vinden, kunnen deze twee punten van onschatbare waarde zijn voor het tekenen van een nauwkeurige parabool. Niet alle parabolen hebben echter x-intercepts. Als uw parabool een vertex heeft opent naar boven en heeft een top boven de x-as of als het naar beneden opent en een hoekpunt onder de x-as heeft, het zal geen x-aftakkingen hebben. Anders, op te lossen voor uw x intercepts met een van de volgende methoden:
    • Stel eenvoudig f (x) = 0 in en los de vergelijking op. Deze methode kan werken voor eenvoudige kwadratische vergelijkingen, vooral in vertex-vorm, maar zal buitengewoon moeilijk blijken te zijn voor meer gecompliceerde. Zie hieronder voor een voorbeeld
      • f (x) = 4 (x - 12)2 - 4
      • 0 = 4 (x - 12)2 - 4
      • 4 = 4 (x - 12)2
      • 1 = (x - 12)2
      • SqRt (1) = (x - 12)
      • +/- 1 = x -12. x = 11 en 13 zijn de x-intercepts van de parabool.
    • Factor uw vergelijking. Sommige vergelijkingen in de bijl2 + bx + c formulier kan eenvoudig worden verwerkt in de vorm (dx + e) ​​(fx + g), waarbij dx × fx = ax2, (dx × g + fx × e) = bx, en e × g = c. In dit geval zijn uw x-intercepts de waarden voor x die beide term tussen haakjes = 0 maken. Bijvoorbeeld:
      • X2 + 2x + 1
      • = (x + 1) (x + 1)
      • In dit geval is uw enige x-intercept -1, omdat instelling x gelijk aan -1 een van de factorwoorden tussen haakjes gelijk aan 0 maakt.
    • Gebruik de kwadratische formule. Als je niet gemakkelijk je x-intercepts kunt oplossen of je vergelijking kunt beïnvloeden, gebruik dan een speciale vergelijking genaamd de kwadratische formule ontworpen voor dit specifieke doel. Als dat nog niet het geval is, krijgt u uw vergelijking in de formulierbijl2 + bx + c, plug a, b en c in de formule x = (-b +/- SqRt (b2 - 4ac)) / 2a. Merk op dat dit je vaak twee antwoorden geeft voor x, wat oké is - dit betekent gewoon dat je parabool twee x intercepts heeft. Zie hieronder voor een voorbeeld:
      • -5x2 + 1x + 10 wordt als volgt aangesloten op de kwadratische formule:
      • x = (-1 +/- SqRt (12 - 4(-5)(10)))/2(-5)
      • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
      • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
      • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
      • x = (13.18 / -10) en (-15.18 / -10). De x-onderscheppingen van de parabool staan ​​op ongeveer x = -1.318 en 1.518
      • Ons vorige standaardformulier, 2x2 + 16x + 39 wordt als volgt in de kwadratische formule ingeplugd:
      • x = (-16 +/- SqRt (162 - 4(2)(39)))/2(2)
      • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
      • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
      • Omdat het onmogelijk is om de wortel van een negatief getal te vinden, weten we dat geen x onderschept bestaan ​​voor deze specifieke parabool.
  9. 9 Zoek zo nodig het y-snijpunt en teken dit uit. Hoewel het vaak niet nodig is om een ​​y-snijpunt van een vergelijking te vinden (het punt waarop de parabool door de y-as gaat), kan dit uiteindelijk wel nodig zijn, vooral als je op school zit. Dit proces is vrij eenvoudig - stel gewoon x = 0 in en los dan je vergelijking op voor f (x) of y, waarmee je de y-waarde krijgt waarmee je parabool door de y-as gaat. In tegenstelling tot x-onderscheppingen, kunnen standaardparabolen slechts één y onderscheppen. Opmerking - voor standaardvormvergelijkingen ligt het y-snijpunt op y = c.
    • We kennen bijvoorbeeld onze kwadratische vergelijking 2x2 + 16x + 39 heeft een y-onderschepping bij y = 39, maar het kan ook als volgt worden gevonden:
      • f (x) = 2x2 + 16x + 39
      • f (x) = 2 (0)2 + 16(0) + 39
      • f (x) = 39. Het y-snijpunt van de parabool is om y = 39. Zoals hierboven opgemerkt, is het y-snijpunt op y = c.
    • Onze vertex-vormvergelijking 4 (x - 5)2 + 12 heeft een y-onderschepping die als volgt kan worden gevonden:
      • f (x) = 4 (x - 5)2 + 12
      • f (x) = 4 (0 - 5)2 + 12
      • f (x) = 4 (-5)2 + 12
      • f (x) = 4 (25) + 12
      • f (x) = 112. Het y-snijpunt van de parabool is bereikt y = 112.
  10. 10 Breid zo nodig extra punten uit en grafiek vervolgens. Je zou nu een vertex, richting, x-onderschepping (en) en mogelijk een y-onderschepping voor je vergelijking moeten hebben. Op dit punt kun je proberen om je parabool te tekenen met de punten die je hebt als richtlijn, of je kunt meer punten vinden om je parabool in te vullen zodat de curve die je tekent nauwkeuriger is. De eenvoudigste manier om dit te doen, is eenvoudigweg een paar x-waarden aan beide zijden van uw hoekpunt in te pluggen en vervolgens deze punten te plotten met de y-waarden die u verkrijgt. Vaak zullen docenten je vragen om een ​​bepaald aantal punten te behalen voordat je je parabool tekent.
    • Laten we de vergelijking x opnieuw bekijken2 + 2x + 1. We weten al dat het enige x-intercept op x = -1 is. Omdat het op één punt slechts het x-snijpunt raakt, kunnen we dat zijn toppunt afleiden is zijn x-intercept, wat betekent dat de top ervan (-1,0) is. We hebben eigenlijk maar één punt voor deze parabool - lang niet genoeg om een ​​goede parabool te trekken. Laten we er nog een paar vinden om er zeker van te zijn dat we een nauwkeurige grafiek tekenen.
      • Laten we de y-waarden voor de volgende x-waarden vinden: 0, 1, -2 en -3.
      • Voor 0: f (x) = (0)2 + 2 (0) + 1 = 1. Ons punt is (0,1).
      • Voor 1: f (x) = (1)2 + 2 (1) + 1 = 4. Ons punt is (1,4).
      • Voor -2: f (x) = (-2)2 + 2 (-2) + 1 = 1. Ons punt is (-2,1).
      • Voor -3: f (x) = (-3)2 + 2 (-3) + 1 = 4. Ons punt is (-3,4).
      • Zet deze punten op de grafiek en teken uw U-vormige curve. Merk op dat de parabool perfect symmetrisch is - als je punten aan de ene kant van de parabool op hele getallen liggen, kun je meestal wat werk besparen door eenvoudigweg een bepaald punt over de symmetrieas van de parabool te reflecteren om het corresponderende punt aan de andere kant te vinden van de parabool.