Hoe Factor binomials te bepalen

In algebra zijn binomials uitdrukkingen van twee termijnen die zijn verbonden aan een plusteken of minteken, zoals $\ displaystyle ax + b$. De eerste term bevat altijd een variabele, terwijl de tweede term wel of niet mag. Het berekenen van een binomiaal betekent het vinden van eenvoudigere termen die, wanneer ze worden vermenigvuldigd, die binomiale uitdrukking produceren, die je helpt het op te lossen of te vereenvoudigen voor verder werk.

Deel een van de drie:
Factoring binomials

1. 1 Bekijk de basisprincipes van factoring. Factoring is wanneer u een groot aantal in zijn eenvoudigste deelbare delen opbreekt. Elk van deze onderdelen wordt een 'factor' genoemd. Het getal 6 kan dus bijvoorbeeld gelijk worden verdeeld door vier verschillende nummers: 1, 2, 3 en 6. Aldus zijn de factoren van 6 1, 2, 3 en 6.
   • De factoren van 32 zijn 1, 2, 4, 8, 16 en 32
   • Zowel '1' als het aantal dat u factoring, zijn altijd factoren. Dus, de factoren van een klein aantal, zoals 3, zouden eenvoudigweg 1 en 3 zijn.
   • Factoren zijn alleen de perfect deelbare getallen, of 'hele' getallen. Je kunt 32 delen door 3.564, of 21.4952, maar dit zal niet leiden tot een factor, alleen een andere decimaal.
2. 2 Plaats de voorwaarden van de binomiaal zodat ze gemakkelijker te lezen zijn. Een binomiaal is simpelweg het optellen of aftrekken van twee getallen, waarvan er tenminste één een variabele bevat. Soms hebben deze variabelen exponenten, zoals $\ displaystyle x ^ 2$ of $\ displaystyle 5y ^ 4$. Bij het eerst factoring van binomials, kan het helpen om vergelijkingen opnieuw te ordenen met oplopende variabele termen, wat betekent dat de grootste exponent de laatste is. Bijvoorbeeld:
   • $\ displaystyle 3t + 6$ → $\ displaystyle 6 + 3t$
   • $\ displaystyle 3x ^ 4 + 9x ^ 2$ → $\ displaystyle 9x ^ 2 + 3x ^ 4$
   • $\ displaystyle x ^ 2 -2$ → $\ displaystyle -2 + x ^ 2$
     • Merk op hoe het negatieve teken voor de 2 blijft staan. Als een term wordt afgetrokken, houd dan gewoon het negatieve ervoor.
3. 3 Zoek de grootste gemene deler van beide termen. Dit betekent dat je het hoogst mogelijke aantal vindt waarmee beide delen van de binomiaal deelbaar zijn. Als je het moeilijk hebt, kun je eenvoudig beide getallen op zichzelf filteren en vervolgens kijken wat het hoogste overeenkomende aantal is. Bijvoorbeeld:
   • Praktijkprobleem:$\ displaystyle 3t + 6$.
     • Factoren van 3: 1, 3
     • Factoren van 6: 1, 2, 3, 6.
     • De grootste gemene deler is 3.
4. 4 Verdeel de grootste gemene deler van elke term. Als u eenmaal weet wat uw gemeenschappelijke factor is, moet u deze van elke term verwijderen. Houd er echter rekening mee dat u eenvoudig de voorwaarden schendt en elke term verandert in een probleem met kleine divisies. Als je het goed hebt gedaan, zullen beide vergelijkingen je factor delen:
   • Praktijkprobleem:$\ displaystyle 3t + 6$.
   • Vind de grootste gemene deler: 3
   • Verwijder factor uit beide termen:$\ displaystyle \ frac 3t 3 + \ frac 6 3 = t + 2$
5. 5 Vermenigvuldig je factor door de resulterende expressie om te voltooien. In het laatste probleem heb je een 3 verwijderd om te krijgen $\ displaystyle t + 2$. Maar je verliet de drie niet alleen volledig, maar het eenvoudigweg uit te splitsen om dingen te vereenvoudigen. Je kunt niet zomaar nummers wissen zonder ze terug te zetten! Vermenigvuldig je factor met de uitdrukking om uiteindelijk te eindigen. Bijvoorbeeld:
   • Praktijkprobleem:$\ displaystyle 3t + 6$
   • Vind de grootste gemene deler: 3
   • Verwijder factor uit beide termen:$\ displaystyle \ frac 3t 3 + \ frac 6 3 = t + 2$
   • Meervoudige factor door nieuwe uitdrukking: $\ displaystyle 3 (t + 2)$
   • Eindelijk gefactored antwoord: $\ displaystyle 3 (t + 2)$
6. 6 Controleer uw werk door alles te vermenigvuldigen met de oorspronkelijke vergelijking. Als je alles goed hebt gedaan, zou het eenvoudig moeten zijn om te controleren of je het goed hebt gedaan. Vermenigvuldig eenvoudig uw factor door beide afzonderlijke delen tussen haakjes. Als het overeenkomt met de originele, onwerkzaam gemaakte binomiale dan deed je het allemaal goed. Van begin tot eind, los de uitdrukking op $\ displaystyle 12t + 18$ om te oefenen:
   • Reorganiseer termen:$\ displaystyle 18 + 12t$
   • Vind de grootste gemene deler: $\ displaystyle 6$
   • Verwijder factor uit beide termen:$\ displaystyle \ frac 18t 6 + \ frac 12t 6 = 3 + 2t$
   • Meervoudige factor door nieuwe uitdrukking: $\ displaystyle 6 (3 + 2t)$
   • Antwoord nakijken: $\ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t$

Tweede deel van de drie:
Factoring binomials om vergelijkingen op te lossen

1. 1 Gebruik factoring om vergelijkingen te vereenvoudigen en ze gemakkelijker op te lossen. Bij het oplossen van een vergelijking met binomials, met name complexe binomials, kan het lijken alsof er op geen enkele manier alles zal overeenkomen. Probeer bijvoorbeeld op te lossen $\ displaystyle 5y-2y ^ 2 = - 3y$. Eén manier om het op te lossen, vooral met exponenten, is om eerst factor te zijn.
   • Praktijkprobleem: $\ displaystyle 5y-2y ^ 2 = - 3y$
   • Onthoud dat binomials maar twee termen mogen hebben. Als er meer dan twee termen zijn, kun je in plaats daarvan polynomen leren oplossen.
2. 2 Optellen en aftrekken zodat de ene kant van de vergelijking gelijk is aan nul. Deze hele strategie is gebaseerd op een van de meest elementaire feiten van wiskunde: alles vermenigvuldigd met nul moet gelijk zijn aan nul. Dus als je vergelijking gelijk is aan nul, dan moet een van je gefactureerde termen gelijk zijn aan nul! Om te beginnen, optellen en aftrekken zodat één zijde gelijk is aan nul.
   • Praktijkprobleem: $\ displaystyle 5y-2y ^ 2 = - 3y$
   • Zet op nul: $\ displaystyle 5y-2y ^ 2 + 3y = -3y + 3y$
     • $\ displaystyle 8y-2y ^ 2 = 0$
3. 3 Factor de niet-nulzijde, net zoals normaal. Op dit punt kun je doen alsof de andere kant niet bestaat voor een stap. Zoek gewoon de grootste gemene deler, verdeelde deze uit en creëerde vervolgens uw uitgestelde uitdrukking.
   • Praktijkprobleem: $\ displaystyle 5y-2y ^ 2 = - 3y$
   • Zet op nul: $\ displaystyle 8y-2y ^ 2 = 0$
   • Factor: $\ displaystyle 2y (4-y) = 0$
4. 4 Stel zowel binnen als buiten de haakjes in als gelijk aan nul. In het oefenprobleem vermenigvuldig je 2j door 4 - y, en het moet gelijk zijn aan nul. Omdat alles vermenigvuldigd met nul gelijk is aan nul, betekent dit dat ofwel 2 of 4 - y 0 moet zijn. Creëer twee afzonderlijke vergelijkingen om erachter te komen wat y voor beide zijden gelijk moet zijn aan nul.
   • Praktijkprobleem: $\ displaystyle 5y-2y ^ 2 = - 3y$
   • Zet op nul: $\ displaystyle 8y-2y ^ 2 + 3y = 0$
   • Factor: $\ displaystyle 2y (4-y) = 0$
   • Stel beide delen in op 0:
     • $\ displaystyle 2y = 0$
     • $\ displaystyle 4-y = 0$
5. 5 Los beide vergelijkingen op voor nul om uw definitieve antwoord of antwoorden te krijgen. Je hebt misschien één antwoord, of meer dan één antwoord. Onthoud dat slechts één zijde gelijk aan nul moet zijn, dus je zou een paar verschillende waarden van y kunnen krijgen die dezelfde vergelijking oplossen. Voor het einde van het oefenprobleem:
   • $\ displaystyle 2y = 0$
     • $\ displaystyle \ frac 2y 2 = \ frac 0 2$
     • y = 0
   • $\ displaystyle 4-y = 0$
     • $\ displaystyle 4-y + y = 0 + y$
     • y = 4
6. 6 Sluit uw antwoorden weer aan om zeker te weten dat ze werken. Als je de juiste waarden voor y hebt, zou je ze moeten kunnen gebruiken om de vergelijking op te lossen. Het is eenvoudig om elke waarde van y uit te proberen in plaats van de variabele, zoals weergegeven. Omdat het antwoord y = 0 en y = 4 was:
   • $\ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ 2 = - 3 (0)$
     • $\ displaystyle 0 + 0 = 0$
     • $\ displaystyle 0 = 0$ Dit antwoord is correct
   • $\ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ 2 = - 3 (4)$
     • $\ displaystyle 20-32 = -12$
     • $\ displaystyle -12 = -12$ Dit antwoord is ook correct.

Derde deel van de drie:
Trickier-problemen oplossen

1. 1 Vergeet niet dat variabelen ook als factoren gelden, zelfs met exponenten. Vergeet niet dat factoring uitzoekt welke getallen zich in het geheel kunnen verdelen. De uitdrukking $\ displaystyle x ^ 4$ is een andere manier om te zeggen $\ displaystyle x * x * x * x$. Dit betekent dat je elke x kunt weglaten als de andere term er ook een heeft. Behandel variabelen die niet verschillen van een normaal aantal. Bijvoorbeeld:
   • $\ displaystyle 2t + t ^ 2$ kan worden verwerkt, omdat beide termen een t bevatten. Je laatste antwoord zou zijn $\ displaystyle t (2 + t)$
   • U kunt zelfs meerdere variabelen tegelijk verwijderen. Bijvoorbeeld in $\ displaystyle x ^ 2 + x ^ 4$ beide termen bevatten hetzelfde $\ displaystyle x ^ 2$. Je kunt factor aan $\ displaystyle x ^ 2 (1 + x ^ 2)$
2. 2 Herken niet-vereenvoudigde binomials door vergelijkbare termen te combineren. Neem bijvoorbeeld de uitdrukking $\ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x$. Dit lijkt misschien vier termen te hebben, maar kijk goed en je beseft dat er eigenlijk maar twee zijn. U kunt dezelfde termen toevoegen en aangezien zowel de 6 als de 14 geen variabele hebben en de 2x en 3x dezelfde variabele delen, kunnen deze beide worden gecombineerd. Factoring is dan eenvoudig:
   • Origineel probleem: $\ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x$
   • Reorganiseer termen: $\ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6$
   • Combineer dezelfde voorwaarden: $\ displaystyle 5x + 20$
   • Vind de grootste gemene deler: $\ displaystyle 5 (x) +5 (4)$
   • Factor: $\ displaystyle 5 (x + 4)$
3. 3 Herken het speciale "verschil van perfecte vierkanten."Een perfect vierkant is een getal waarvan de vierkantswortel een heel getal is, zoals $\ displaystyle 9$ $\ displaystyle (3 * 3)$, $\ displaystyle x ^ 2$ $\ displaystyle (x * x)$, of zelfs $\ displaystyle 144t ^ 2$ $\ displaystyle (12t * 12t)$ Als je binomiaal een aftrekprobleem is met twee perfecte vierkanten, zoals $\ displaystyle a ^ 2 -b ^ 2$, u kunt ze simpelweg in deze formule pluggen:
   • Het verschil in perfecte vierkantenformule: $\ displaystyle a ^ 2 -b ^ 2 = (a + b) (a-b)$
   • Praktijkprobleem: $\ displaystyle 4x ^ 2 -9$
   • Vind wortels:
     • $\ displaystyle \ sqrt 4x ^ 2 = 2x$
     • $\ displaystyle \ sqrt 9 = 3$
   • Vierkanten in formule verbinden: $\ displaystyle 4x ^ 2 -9 = (2x + 3) (2x-3)$^[1]
4. 4 Leer het "verschil in perfecte kubussen" te doorbreken."Net als de perfecte vierkanten, is dit een eenvoudige formule voor wanneer je twee in blokjes uitgedrukte termen hebt afgetrokken door elkaar. $\ displaystyle a ^ 3 -b ^ 3$. Net als eerder, vindt u eenvoudig de in blokjes gesneden wortel van elk, die u aansluit op een formule:
   • Verschil van perfecte kubussenformule: $\ displaystyle a ^ 3 -b ^ 3 = (a-b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)$
   • Praktijkprobleem: $\ displaystyle 8x ^ 3 -27$
   • Zoek in blokjes gesneden wortels:
     • $\ displaystyle \ sqrt [3] 8x ^ 3 = 2x$
     • $\ displaystyle \ sqrt [3] 27 = 3$
   • Sluit kubussen aan in formule: $\ displaystyle 8x ^ 3 -27 = (2x-3) (4x ^ 2 + 6x + 9)$^[2]
5. 5 Weet dat de som van perfecte kubussen ook in een formule past. In tegenstelling tot het verschil in perfecte vierkanten, kun je eenvoudig ook toegevoegde kubussen vinden, zoals $\ displaystyle a ^ 3 + b ^ 3$, met een eenvoudige formule. Het is bijna exact hetzelfde als hierboven, alleen met enkele plussen en minnen omgedraaid. De formule is net zo eenvoudig als de andere twee, en alles wat je hoeft te doen is de twee kubussen in het probleem herkennen om het te gebruiken:
   • Som van de perfecte kubusformule: $\ displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 -ab + b ^ 2)$
   • Praktijkprobleem: $\ displaystyle 8x ^ 3 -27$
   • Zoek in blokjes gesneden wortels:
     • $\ displaystyle \ sqrt [3] 8x ^ 3 = 2x$
     • $\ displaystyle \ sqrt [3] 27 = 3$
   • Sluit kubussen aan in formule: $\ displaystyle 8x ^ 3 -27 = (2x + 3) (4x ^ 2 -6x + 9)$^[3]