In wiskunde, factoring is de handeling om de getallen of uitdrukkingen te vinden die zich vermenigvuldigen om een ​​gegeven getal of vergelijking te maken. Factoring is een nuttige vaardigheid om te leren met het oog op het oplossen van elementaire algebra-problemen; het vermogen om competent te factureren wordt bijna essentieel wanneer het gaat om kwadratische vergelijkingen en andere vormen van polynomen. Factoring kan worden gebruikt om algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen om het oplossen eenvoudiger te maken. Factoring kan u zelfs de mogelijkheid bieden om bepaalde mogelijke antwoorden veel sneller te elimineren dan u zou kunnen doen door handmatig op te lossen.

Methode één van de drie:
Factoring Numbers en Basic Algebraic Expressions

  1. 1 Begrijp de definitie van factoring bij toepassing op enkele nummers. Factoring is conceptueel eenvoudig, maar kan in de praktijk een uitdaging blijken te zijn wanneer het wordt toegepast op complexe vergelijkingen. Daarom is het het gemakkelijkst om het concept van factoring te benaderen door te beginnen met eenvoudige getallen en vervolgens door te gaan naar eenvoudige vergelijkingen voordat u uiteindelijk doorgaat naar meer geavanceerde toepassingen. Een bepaald aantal is factoren zijn de getallen die zich vermenigvuldigen om dat aantal te geven. De factoren van 12 zijn bijvoorbeeld 1, 12, 2, 6, 3 en 4, omdat 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4 allemaal gelijk 12 zijn.
    • Een andere manier om hieraan te denken is dat de cijfers van een bepaald aantal de cijfers zijn Gelijkmatig deelbaar.
    • Kun je alle factoren van nummer 60 vinden? We gebruiken het nummer 60 voor een breed scala aan doeleinden (minuten in een uur, seconden per minuut, enz.) Omdat het gelijkelijk deelbaar is door een vrij groot aantal nummers.
      • De factoren van 60 zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60.
  2. 2 Begrijp dat variabele uitdrukkingen ook kunnen worden verwerkt. Net zoals alleenstaande getallen kunnen worden meegerekend, kunnen variabelen met numerieke coëfficiënten worden meegerekend. Om dit te doen, zoekt u eenvoudig de factoren van de coëfficiënt van de variabele. Weten hoe factor-variabelen moeten worden gebruikt, is nuttig voor het vereenvoudigen van algebraïsche vergelijkingen waarvan de variabelen deel uitmaken.
    • De variabele 12x kan bijvoorbeeld worden geschreven als een product van de factoren 12 en x. We kunnen 12x als 3 (4x), 2 (6x), enz. Schrijven, met behulp van welke factor van 12 het beste is voor onze doeleinden.
      • We kunnen zelfs zo ver gaan dat factor 12x factor is meerdere keren. Met andere woorden, we hoeven niet te stoppen met 3 (4x) of 2 (6x) - we kunnen 4x en 6x factor geven om respectievelijk 3 (2 (2x) en 2 (3 (2x) te geven. uitdrukkingen zijn gelijk.
  3. 3 Pas de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging toe op algebraïsche vergelijkingen in factoren. Gebruik makend van uw kennis van hoe u zowel eenzame getallen als variabelen met coëfficiënten factoreert, kunt u eenvoudige algebraïsche vergelijkingen vereenvoudigen door factoren te vinden die de getallen en variabelen in een algebraïsche vergelijking met elkaar gemeen hebben. Gewoonlijk proberen we om de vergelijking zo eenvoudig mogelijk te maken naar de grootste gemene deler te zoeken. Dit vereenvoudigingsproces is mogelijk vanwege de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging, waarin staat dat voor alle getallen a, b en c, a (b + c) = ab + ac.
    • Laten we een voorbeeldprobleem proberen. Om de algebraïsche vergelijking 12 x + 6 te laten factor, laten we eerst proberen de grootste gemene deler van 12x en 6 te vinden. 6 is het grootste getal dat gelijk verdeeld is in zowel 12x als 6, dus we kunnen de vergelijking vereenvoudigen tot 6 (2x + 1).
    • Dit proces is ook van toepassing op vergelijkingen met negatieven en breuken. x / 2 + 4 kan bijvoorbeeld worden vereenvoudigd tot 1/2 (x + 8) en -7x + -21 kan worden verwerkt tot -7 (x + 3).

Methode twee van drie:
Kwantitatieve vergelijkingen berekenen

  1. 1 Zorg ervoor dat de vergelijking in kwadratische vorm is (bijl2 + bx + c = 0). Kwadratische vergelijkingen zijn van de vormbijl2 + bx + c = 0, waarbij a, b en c numerieke constanten zijn en a niet gelijk is aan 0 (merk op dat a kan gelijk aan 1 of -1). Als u een vergelijking hebt die één variabele (x) bevat met een of meer termen van x tot de tweede macht, kunt u de termen in de vergelijking meestal verplaatsen met behulp van elementaire algebraïsche bewerkingen om 0 aan één kant van het gelijkteken en de bijl te krijgen2, enz. aan de andere kant.
    • Laten we bijvoorbeeld de algebraïsche vergelijking beschouwen. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 kan worden vereenvoudigd tot x2 + 6x + 9 = 0, wat in de kwadratische vorm is.
    • Vergelijkingen met grotere bevoegdheden van x, zoals x3, x4, enz. kunnen geen kwadratische vergelijkingen zijn. Het zijn kubische vergelijkingen, kwadratische vergelijkingen, enzovoort, tenzij de vergelijking kan worden vereenvoudigd om deze termen van x boven de macht van 2 te elimineren.
  2. 2 In kwadratische vergelijkingen waarbij a = 1, factor tot (x + d) (x + e), waarbij d × e = c en d + e = b. Als uw kwadratische vergelijking is het in de vorm x2 + bx + c = 0 (met andere woorden, als de coëfficiënt van de x2 term = 1), is het mogelijk (maar niet gegarandeerd) dat een relatief eenvoudige snelkoppeling kan worden gebruikt om de vergelijking te factoreren. Zoek twee getallen die beide vermenigvuldigen om c te maken en toevoegen om te maken b. Zodra u deze twee getallen d en e vindt, plaatst u ze in de volgende uitdrukking: (X + d) (x + e). Deze twee termen, vermenigvuldigd met elkaar, produceren je kwadratische vergelijking - met andere woorden, het zijn de factoren van je kwadratische vergelijking.
    • Laten we bijvoorbeeld de kwadratische vergelijking x beschouwen2 + 5x + 6 = 0. 3 en 2 vermenigvuldigen om 6 te maken en tellen ook op om 5 te maken, zodat we deze vergelijking kunnen vereenvoudigen tot (x + 3) (x + 2).
    • Er bestaan ​​lichte variaties op deze standaardsnelkoppeling voor kleine variaties in de vergelijking zelf:
      • Als de kwadratische vergelijking de vorm x heeft2-bx + c, je antwoord is in deze vorm: (x - _) (x - _).
      • Als het in de vorm x is2+ bx + c, je antwoord ziet er als volgt uit: (x + _) (x + _).
      • Als het in de vorm x is2-bx-c, je antwoord is in de vorm (x + _) (x - _).
    • Opmerking: de getallen in de lege cellen kunnen breuken of decimalen zijn. Bijvoorbeeld de vergelijking x2 + (21/2) x + 5 = 0 factoren tot (x + 10) (x + 1/2).
  3. 3 Indien mogelijk, factor door inspectie. Geloof het of niet, voor ongecompliceerde kwadratische vergelijkingen, is een van de geaccepteerde manieren om te factoring eenvoudigweg om het probleem te onderzoeken, bedenk dan alleen mogelijke antwoorden totdat je de juiste hebt gevonden. Dit wordt ook wel aangeduid als factoring door inspectie. Als de vergelijking in de vormbijl staat2+ bx + c en a> 1, je gefactureerde antwoord zal de vorm hebben (dx +/- _) (ex +/- _), waarbij d en e niet-nul-numerieke constanten zijn die vermenigvuldigd worden om een ​​te maken. Ofwel d of e (of beide) kan nummer 1 zijn, hoewel dit niet noodzakelijk zo is. Als beide 1 zijn, hebt u in essentie de hierboven beschreven snelkoppeling gebruikt.
    • Laten we een voorbeeldprobleem overwegen. 3x2 - 8x + 4 lijkt aanvankelijk intimiderend. Als we echter eenmaal beseffen dat 3 slechts twee factoren heeft (3 en 1), wordt het gemakkelijker omdat we weten dat ons antwoord de vorm moet hebben (3x +/- _) (x +/- _). In dit geval geeft het toevoegen van een -2 aan beide lege spaties het goede antwoord. -2 x 3x = -6x en -2x x = -2x. -6x en -2x toevoegen aan -8x. -2 × -2 = 4, dus we kunnen zien dat de gecorrigeerde termen tussen haakjes zich vermenigvuldigen om de oorspronkelijke vergelijking te worden.
  4. 4 Los op door het vierkant te voltooien. In sommige gevallen kunnen kwadratische vergelijkingen snel en eenvoudig worden verwerkt door een speciale algebraïsche identiteit te gebruiken. Elke kwadratische vergelijking van de vorm x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Dus, als in je vergelijking je b-waarde tweemaal de vierkantswortel van je c-waarde is, kan je vergelijking worden meegewogen naar (x + (sqrt (c)))2.
    • Bijvoorbeeld de vergelijking x2 + 6x + 9 past in dit formulier. 32 is 9 en 3 × 2 is 6. Dus we weten dat de factorvorm van deze vergelijking (x + 3) (x + 3) of (x + 3) is2.
  5. 5 Gebruik factoren om kwadratische vergelijkingen op te lossen. Ongeacht hoe u uw kwadratische uitdrukking meet, als deze eenmaal is verwerkt, kunt u mogelijke antwoorden voor de waarde van x vinden door elke factor gelijk aan nul in te stellen en op te lossen. Omdat u op zoek bent naar waarden van x die ervoor zorgen dat uw vergelijking gelijk is aan nul, is een waarde van x die een van uw factoren gelijk maakt aan nul een mogelijk antwoord voor uw kwadratische vergelijking.
    • Laten we terugkeren naar de vergelijking x2 + 5x + 6 = 0. Deze vergelijking is verdisconteerd tot (x + 3) (x + 2) = 0. Als een van de factoren gelijk is aan 0, is de hele vergelijking gelijk aan 0, dus onze mogelijke antwoorden voor x zijn de nummers die maken ( x + 3) en (x + 2) gelijk aan 0. Deze getallen zijn respectievelijk -3 en -2.
  6. 6 Controleer uw antwoorden - sommige van hen kunnen vreemd zijn! Wanneer u uw mogelijke antwoorden voor x hebt gevonden, sluit u deze weer aan op uw oorspronkelijke vergelijking om te zien of ze geldig zijn. Soms zijn de antwoorden die u vindt niet doen zorg ervoor dat de oorspronkelijke vergelijking gelijk is aan nul wanneer de stekker weer in het stopcontact zit. We noemen deze antwoorden vreemd en negeer ze.
    • Laten we -2 en -3 in x steken2 + 5x + 6 = 0. Ten eerste, -2:
      • (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
      • 4 + -10 + 6 = 0
      • 0 = 0. Dit is correct, dus -2 is een geldig antwoord.
    • Laten we nu -3 proberen:
      • (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
      • 9 + -15 + 6 = 0
      • 0 = 0. Dit is ook correct, dus -3 is ook een geldig antwoord.

Methode drie van drie:
Andere vormen van vergelijkingen factoren

  1. 1 Als de vergelijking de vorm heeft van a2-b2, factor het naar (a + b) (a-b). Vergelijkingen met twee variabelen hebben een andere factor dan basiskwadraten. Voor elke vergelijking2-b2 waar a en b niet gelijk zijn aan 0, de vergelijkingsfactoren tot (a + b) (a-b).
    • Bijvoorbeeld de vergelijking 9x2 - 4j2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
  2. 2 Als de vergelijking de vorm heeft van a22ab + + b2, factor het aan (a + b)2. Merk op dat, als de trinominaal in de vorm is a2-2ab + b2, de gefactureerde vorm is iets anders: (a-b)2.
    • De vergelijking 4x2 + 8xy + 4y2 kan worden herschreven als 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. We kunnen nu zien dat het in de juiste vorm is, dus we kunnen met vertrouwen zeggen dat onze vergelijkingsfactoren tot (2x + 2y)2
  3. 3 Als de vergelijking de vorm heeft van a3-b3, factor het naar (a-b) (a2+ Ab + b2). Ten slotte wordt vermeld dat cubics en zelfs vergelijkingen van hogere orde kunnen worden verwerkt, hoewel het factoringproces snel onbetaalbaar wordt.
    • Bijvoorbeeld 8x3 - 27 jaar3 factoren tot (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9j2)