Hoe te integreren op onderdelen

Integratie door delen is een techniek die wordt gebruikt om integralen te evalueren waarbij de integrand een product is van twee functies.

$\ displaystyle \ int f (x) g (x) \ mathrm d x$

Integraties die anders moeilijk op te lossen zijn, kunnen in een eenvoudiger vorm worden gezet met behulp van deze integratiemethode.

Deel een van de vier:
Onbepaalde integraal

1. 1 Beschouw de integraal hieronder. We zien dat de integrand een product is van twee functies, dus het is ideaal voor ons om te integreren door delen.
   • $\ displaystyle \ int xe ^ x \ mathrm d x$
2. 2 Herinner de formule voor integratie door delen. Deze formule is erg handig in de zin dat het ons dat toestaat overdracht de afgeleide van de ene functie naar de andere, ten koste van een minteken en een begrenzingstermijn.
   • $\ displaystyle \ int u \ mathrm d v = uv- \ int v \ mathrm d u$
3. 3 Kies een $\ displaystyle u$ en $\ displaystyle \ mathrm d v,$ en vind het resultaat $\ displaystyle \ mathrm d u$ en $\ displaystyle v$. We kiezen $\ displaystyle u = x$ omdat de afgeleide van 1 eenvoudiger is dan de afgeleide van $\ displaystyle e ^ x,$ wat alleen zichzelf is. Dat resulteert in $\ displaystyle \ mathrm d v = e ^ x \ mathrm d x,$ waarvan integraal triviaal is.
   • $\ displaystyle \ mathrm d u = \ mathrm d x$
   • $\ displaystyle v = e ^ x$
   • In het algemeen is integratie van onderdelen een techniek die een integraal wil omzetten in een die eenvoudiger te integreren is. Als u een product ziet met twee functies waarbij het een polynoom is, dan instellen $\ displaystyle u$ om de polynoom te zijn zal hoogstwaarschijnlijk een goede keuze zijn.
   • Je kunt de constante van integratie negeren bij het vinden $\ displaystyle v,$ omdat het er uiteindelijk uit zal vallen.
4. 4 Vervang deze vier uitdrukkingen in onze integraal.
   • $\ displaystyle \ int xe ^ x \ mathrm d x = xe ^ x - \ int e ^ x \ mathrm d x$
   • Het resultaat was dat onze integraal nu uit slechts één functie bestaat - de exponentiële functie. Als $\ displaystyle e ^ x$ is zijn eigen antiderivatief met een constante, en evalueert dat het veel gemakkelijker is.
5. 5 Evalueer de resulterende expressie met alle mogelijke middelen. Vergeet niet om de constante van integratie toe te voegen, aangezien antiderivatieven niet uniek zijn.
   • $\ displaystyle \ int xe ^ x \ mathrm d x = xe ^ x -e ^ x + C$

Deel twee van vier:
Zeker integraal

1. 1 Beschouw de definitieve integraal hieronder. Bepaalde integralen vereisen evaluatie aan de grenzen. Hoewel de onderstaande integraal eruit ziet als een integrand van slechts één functie, de inverse tangensfunctie, kunnen we zeggen dat het het product is van inverse tangens en 1.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ 1 \ tan ^ - 1 x \ mathrm d x$
2. 2 Herinner de integratie door de formule van onderdelen.
   • $\ displaystyle \ int _ a ^ b u \ mathrm d v = uv \ Bigg | _ a ^ b - \ int _ a ^ b v \ mathrm d u$
3. 3 set $\ displaystyle u$ en $\ displaystyle \ mathrm d v,$ en vind $\ displaystyle \ mathrm d u$ en $\ displaystyle v$. Omdat de afgeleide van een inverse trig-functie algebraïsch is en daarom eenvoudiger, stellen we in $\ displaystyle u = \ tan ^ - 1 x$ en $\ displaystyle \ mathrm d v = \ mathrm d x.$ Dit resulteert in $\ displaystyle \ mathrm d u = \ frac 1 1 + x ^ 2 \ mathrm d x$ en $\ displaystyle v = x.$
4. 4 Vervang deze expressies in onze integraal.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ 1 \ tan ^ - 1 x \ mathrm d x = x \ tan ^ - 1 x \ Bigg | _ 0 ^ 1 - \ int _ 0 ^ 1 \ frac x 1 + x ^ 2 \ mathrm d x$
5. 5 Evalueer de vereenvoudigde integraal met behulp van u-vervanging. De teller is evenredig met de afgeleide van de noemer, dus u-onderverdeling is ideaal.
   • Laat $\ displaystyle u = 1 + x ^ 2.$ Dan $\ displaystyle \ mathrm d u = 2x \ mathrm d x.$ Wees voorzichtig in het veranderen van je grenzen.
     • $\ displaystyle \ start aligned \ int _ 0 ^ 1 \ frac x 1 + x ^ 2 \ mathrm d x & = \ frac 1 2 \ int _ 1 ^ 2 \ frac 1 u \ mathrm d u \ & = \ frac 1 2 \ ln 2 \ end gericht$
6. 6 Evalueer de $\ displaystyle uv$ uitdrukking om de evaluatie van de originele integraal te voltooien. Wees voorzichtig met de borden.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ 1 \ tan ^ - 1 x \ mathrm d x = \ frac \ pi 4 - \ frac 1 2 \ ln 2$

Deel drie van vier:
Herhaalde integratie door Parts

1. 1 Beschouw de integraal hieronder. Soms kun je een integraal tegenkomen die meerdere onderdelen van integratie door delen vereist om het gewenste antwoord te krijgen. Zo'n integraal is hieronder.
   • $\ displaystyle \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x$
2. 2 Herinner de formule voor integratie door delen.
   • $\ displaystyle \ int u \ mathrm d v = uv- \ int v \ mathrm d u$
3. 3 Kies een $\ displaystyle u$ en $\ displaystyle \ mathrm d v,$ en vind het resultaat $\ displaystyle \ mathrm d u$ en $\ displaystyle v$. Als een van de functies is de exponentiële functie, die instellen als $\ displaystyle u$ zal ons nergens brengen. Laat het in plaats daarvan $\ displaystyle u = \ cos x$ en $\ displaystyle \ mathrm d v = e ^ x \ mathrm d x.$ Wat we vinden is dat de tweede afgeleide van $\ displaystyle u$ is gewoon het negatief van zichzelf. Dat is, $\ displaystyle \ frac \ mathrm d ^ 2 \ mathrm d x ^ 2 \ cos x = - \ cos x.$ Dit betekent dat we twee keer per onderdeel moeten integreren om een ​​interessant resultaat te krijgen.
   • $\ displaystyle \ mathrm d u = - \ sin x$
   • $\ displaystyle v = e ^ x$
4. 4 Vervang deze expressies in onze integraal.
   • $\ displaystyle \ begin uitgelijnd \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x & = e ^ x \ cos x- \ int -e ^ x \ sin x \ mathrm d x \ & = e ^ x \ cos x + \ int e ^ x \ sin x \ mathrm d x \ end aligned$
5. 5 Voer integratie uit door onderdelen op de $\ displaystyle v \ mathrm d u$ integraal. Wees voorzichtig met de borden.
   • $\ displaystyle u = \ sin x, \, \ mathrm d v = e ^ x \ mathrm d x, \, \ mathrm d u = \ cos x \ mathrm d x, \, v = e ^ x$
   • $\ displaystyle \ int e ^ x \ sin x \ mathrm d x = e ^ x \ sin x- \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x$
   • $\ displaystyle \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x = e ^ x \ cos x + e ^ x \ sin x- \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x$
6. 6 Los op voor de originele integraal. In dit probleem is wat we hebben gevonden dat door de integratie door delen twee keer uit te voeren, de oorspronkelijke integraal in het werk naar voren kwam. In plaats van eindeloos door delen te integreren, waardoor we nergens komen, kunnen we het in plaats daarvan oplossen. Vergeet niet de constante van integratie helemaal aan het einde.
   • $\ displaystyle \ begin uitgelijnd 2 \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x & = e ^ x \ cos x + e ^ x \ sin x \\ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x & = \ frac 1 2 e ^ x \ cos x + \ frac 1 2 e ^ x \ sin x + C \ end aligned$

Deel vier van vier:
Afleiden van de Integration by Parts Formula

1. 1 Beschouw het antiderivatief van $\ displaystyle g (x)$. We zullen deze functie noemen $\ displaystyle G (x),$ waar $\ displaystyle G$ is een functie die voldoet $\ displaystyle G ^ \ prime = g.$
2. 2 Bereken de afgeleide van $\ displaystyle fG$. Omdat dit een product is van twee functies, gebruiken we de productregel. Scherpe geesten zullen intuïtief de resulterende integratie door delenformule zien als nauw gerelateerd aan de productregel, net zoals u-substitutie de tegenhanger is van de kettingregel.
   • $\ displaystyle \ start aligned \ frac \ mathrm d \ mathrm d x fG & = fG ^ \ prime + f ^ \ prime G \ & = fg + f ^ \ prime G \ end aligned$
3. 3 Neem de integraal van beide kanten met betrekking tot $\ displaystyle x$. De bovenstaande uitdrukking zegt dat $\ displaystyle fG$ is de antiderivative van de rechterkant, dus we integreren beide kanten om de integraal van de linkerkant te herstellen.
   • $\ displaystyle \ int (fg + f ^ \ prime G) \ mathrm d x = fG$
4. 4 Herschikken om de integraal van te isoleren $\ displaystyle fg$.
   • $\ displaystyle \ int fg \ mathrm d x = fG- \ int f ^ \ prime G \ mathrm d x$
   • Het doel van integratie door delen is te zien in de bovenstaande uitdrukking. Wij integreren $\ displaystyle f ^ \ prime G$ in plaats van $\ displaystyle fg,$ en als dit correct wordt gebruikt, resulteert dit in een eenvoudigere evaluatie.
5. 5 Wijzig de variabelen om het vertrouwde compacte formulier te herstellen. Wij laten $\ displaystyle u = f, \, v = G, \, \ mathrm d u = f ^ \ prime \ mathrm d x, \, \ mathrm d v = g \ mathrm d x.$
   • $\ displaystyle \ int u \ mathrm d v = uv- \ int v \ mathrm d u$
   • Over het algemeen is er geen systematisch proces waarmee we het integraal gemakkelijker kunnen evalueren. Het is echter vaak zo dat we een $\ displaystyle u$ waarvan de afgeleide gemakkelijker te beheren is, en $\ displaystyle \ mathrm d v$ die eenvoudig kan worden geïntegreerd.
   • Voor definitieve integralen kan eenvoudig worden aangetoond dat de formule geldt voor het schrijven van de grenzen voor alle drie termen, hoewel het belangrijk is om te onthouden dat de grenzen grenzen aan de variabele zijn $\ displaystyle x.$
     • $\ displaystyle \ int _ a ^ b u \ mathrm d v = uv \ Bigg | _ a ^ b - \ int _ a ^ b v \ mathrm d u$